Bei einer Verkehrszählung zur Untersuchung des Sicherheitsbewusstseins im Straßenverkehr wurden 630 Radfahrer erfasst. Ein Drittel davon fuhr ein Fahrrad mit Elektromotor, 147 waren mit einem Fahrrad ohne Elektromotor unterwegs und trugen keinen Helm. Insgesamt trugen 40 % der Radfahrer keinen Helm.
Aus den bei der Verkehrszählung erfassten Radfahrern wird eine Person zufällig ausgewählt.
Betrachtet werden folgende Ereignisse:
\(E\): „Die Person fuhr ein Fahrrad mit Elektromotor."
\(H\): „Die Person trug einen Helm."
Begründen Sie anhand der vorliegenden Daten, dass \(E\) und \(H\) stochastisch abhängig sind.
(3 BE)
Lösung zu Teilaufgabe 1a
\(E\): „Die Person fuhr ein Fahrrad mit Elektromotor."
\(H\): „Die Person trug einen Helm."
Es ist beispielsweise zu zeigen, dass \(P(H) \neq P_E(H)\) bzw. \(P(E) \cdot P(H) \neq P(E \cap H)\) ist. Das bedeutete, dass das Eintreten des Ereignisses \(E\) das Eintreten des Ereignisses \(H\) beeinflusst und die Ereignisse \(E\) und \(H\) somit stochastisch abhängig sind.
Stochastische Unabhängigkeit
Zwei Ereignisse \(A\) und \(B\) heißen stochastisch unabhängig, wenn
\[P(A) \cdot P(B) = P(A \cap B)^*\]
gilt.
Bedeutung: Sind zwei Ereignisse \(A\) und \(B\) stochastisch unabhängig, beeinflusst das Eintreten des Ereignisses \(A\) nicht das Eintreten des Ereignisses \(B\) und umgekehrt.
* Oder wenn
\(P(\overline{A}) \cdot P(B) = P(\overline{A} \cap B)\) bzw. \(P(A) \cdot P(\overline{B}) = P(A \cap \overline{B})\) bzw. \(P(\overline{A}) \cdot P(\overline{B}) = P(\overline{A} \cap \overline{B})\)
gilt.
Nicht verwechseln! Die Unvereinbarkeit zweier Ereignisse \(A\) und \(B\) liegt vor, wenn \(A \cap B = \{\}\).
Allgemeines Baumdiagramm zweier Ereignisse \(A\) und \(B\) mit den bedingten Wahrscheinlichkeiten an den Pfaden der zweiten Stufe
Baumdiagramm von zwei stochastisch unabhängigen Ereignissen \(A\) und \(B\). An den Pfaden der zweiten Stufe sind jeweils die gleichen Wahrscheinlichkeiten \(\textcolor{#89ba17}{P(B)}\) und \(\textcolor{#89ba17}{P(\overline{B})}\) angetragen.
| \(B\) | \(\overline{B}\) | ||
| \(A\) | \(P(A \cap B) = \textcolor{#e9b509}{P(A)} \cdot \textcolor{#0087c1}{P(B)}\) | \(P(A \cap \overline{B}) = \textcolor{#e9b509}{P(A)} \cdot \textcolor{#0087c1}{P(\overline{B})}\) | \(\textcolor{#e9b509}{P(A)}\) |
| \(\overline{A}\) | \(P(\overline{A} \cap B) = \textcolor{#e9b509}{P(\overline{A})} \cdot \textcolor{#0087c1}{P(B)}\) | \(P(\overline{A} \cap \overline{B}) = \textcolor{#e9b509}{P(\overline{A})} \cdot \textcolor{#0087c1}{P(\overline{B})}\) | \(\textcolor{#e9b509}{P(\overline{A})}\) |
| \(\textcolor{#0087c1}{P(B)}\) | \(\textcolor{#0087c1}{P(\overline{B})}\) | \(1\) |
Im Falle zweier unabhängiger Ereignisse \(A\) und \(B\) ist die Vierfeldertafel eine Multiplikationstafel. Die Einträge der inneren Zellen sind das Produkt der zugehörigen Einträge der äußeren Zellen.
Eine Vierfeldertafel ist zwar nicht ausdrücklich verlangt, sie ist aber auch für Teilaufgabe 1b von Vorteil.
Gegeben:
\[\vert \Omega \vert = 630\]
\[\textcolor{#89ba17}{P(E)} = \textcolor{#89ba17}{\dfrac{1}{3}} \; \Rightarrow \; \textcolor{#89ba17}{\vert E \vert} = \frac{1}{3} \cdot 630 = \textcolor{#89ba17}{210}\]
\[\textcolor{#89ba17}{\vert \overline{E} \cap \overline{H} \vert} = \textcolor{#89ba17}{147} \]
\[\textcolor{#89ba17}{P(\overline{H})} = \textcolor{#89ba17}{0{,}4} \; \Rightarrow \; \textcolor{#89ba17}{\vert \overline{H} \vert} = 0{,}4 \cdot 630 = \textcolor{#89ba17}{252}\]
Vierfeldertafel der absoluten Häufigkeiten
| \(E\) | \(\overline{E}\) | ||
| \(H\) | |||
| \(\overline{H}\) | \(\textcolor{#89ba17}{147}\) | \(\textcolor{#89ba17}{252}\) | |
| \(\textcolor{#89ba17}{210}\) | \(630\) |
Vierfeldertafel der Wahrscheinlichkeiten (optional)
| \(E\) | \(\overline{E}\) | ||
| \(H\) | |||
| \(\overline{H}\) | \(\textcolor{#89ba17}{\frac{147}{630}}\) | \(\textcolor{#89ba17}{\frac{252}{630}}\) | |
| \(\textcolor{#89ba17}{\frac{210}{630}}\) | \(1\) |
Durch zeilen- bzw. spaltenweise Subtraktion lässt sich die Vierfeldertafel vollständig ausfüllen.
Vierfeldertafel der absoluten Häufigkeiten
| \(E\) | \(\overline{E}\) | ||
| \(H\) | \(105\) | \(273\) | \(378\) |
| \(\overline{H}\) | \(105\) | \(\textcolor{#89ba17}{147}\) | \(\textcolor{#89ba17}{252}\) |
| \(\textcolor{#89ba17}{210}\) | \(420\) | \(630\) |
Vierfeldertafel der Wahrscheinlichkeiten (optional)
| \(E\) | \(\overline{E}\) | ||
| \(H\) | \(\frac{105}{630}\) | \(\frac{273}{630}\) | \(\frac{378}{630}\) |
| \(\overline{H}\) | \(\frac{105}{630}\) | \(\textcolor{#89ba17}{\frac{147}{630}}\) | \(\textcolor{#89ba17}{\frac{252}{630}}\) |
| \(\textcolor{#89ba17}{\frac{210}{630}}\) | \(\frac{420}{630}\) | \(1\) |
Nachweis der stochastischen Abhängigkeit der Ereignisse \(E\) und \(H\):
\[\smash{P(H) = \frac{378}{630}} \vphantom{ \frac{\frac{105}{630}}{\frac{210}{630}} = \frac{105}{210}}\]
\[P_E(H) = \frac{P(H \cap E)}{P(E)} = \frac{\frac{105}{630}}{\frac{210}{630}} = \frac{105}{210} = \frac{1}{2}\]
Da \(P(H) \neq P_E(H)\) ist, sind die Ereignisse \(E\) und \(H\) stochastisch abhängig.
oder
\[P(E) \cdot P(H) = \frac{210}{630} \cdot \frac{378}{630} = \frac{1}{5} \neq \frac{1}{6} = \frac{105}{630} = P(H \cap E)\]
Also sind die Ereignisse \(E\) und \(H\) stochastisch abhängig.
(Vgl. Mathematik Abiturskript Bayern G9 - 2 Stochastik, 2.1.4 Bedingte Wahrscheinlichkeit und stochastische Unabhängigkeit)
