Betrachtet wird nun die Funktion \(h\) mit \(h(x) = \ln(g(x))\). Geben Sie mithilfe des Verlaufs von \(G_g\) die maximale Definitionsmenge \(D_h\) von \(h\), das Verhalten von \(h\) an den Grenzen von \(D_h\) sowie einen Näherungswert für die Nullstelle von \(h\) an.

(5 BE)

Lösung zu Teilaufgabe 2c

 

\[h(x) = \ln \left ( g(x) \right ) = \ln \left ( \frac{1}{2}x - 1 + \frac{6}{(x - 1)^2} \right )\]

 

Maximale Definitionsmenge von \(h\)

 

Der Definitionsbereich des Logarithmus \(\left( \mathbb R^+ \right) \) und der Definitionsbereich von \(g\) bestimmen die maximale Definitionsmenge von \(h\). Mit \(D_g = \mathbb R \backslash \{1\}\) folgt:

 

\(g(x) > 0\) für \(x \in \enspace ]-1;1[\) und \(x \in \enspace]1;+\infty[\) (siehe Abbildung 2)

 

\[\Longrightarrow \quad D_h = \enspace ]-1;1[ \enspace \cup \enspace ]1;+\infty[ \enspace = \enspace ]-1;+\infty[ \enspace \backslash \enspace {1}\]

 

Verhalten von \(h\) an den Grenzen von \(D_h\)

 

Verhalten von \(h\) für \(x \to -1^+\)

 

\[\lim \limits_{x \, \to \, -1^+} g(x) = 0^+\,; \qquad \lim \limits_{x \, \to \, 0^+} \ln x = -\infty\]

 

\[\Longrightarrow \quad \lim \limits_{x \, \to \, -1^+} h(x) = -\infty\]

 

Verhalten von \(h\) für \(x \to 1^-\) und \(x \to 1^+\)

 

\[\lim \limits_{x \, \to \, 1^-} g(x) = +\infty\,; \qquad \lim \limits_{x \, \to \, 1^+} g(x) = +\infty\,; \qquad \lim \limits_{x \, \to \, +\infty} \ln x = +\infty\]

 

\[\Longrightarrow \quad \lim \limits_{x \, \to \, 1^-} h(x) = +\infty\,; \qquad \lim \limits_{x \, \to \, 1^+} h(x) = +\infty\]

 

Verhalten von \(h\) für \(x \to +\infty\)

 

\[\lim \limits_{x \, \to \, +\infty} g(x) = +\infty\,; \qquad \lim \limits_{x \, \to \, +\infty} \ln x = +\infty\]

 

\[\Longrightarrow \quad \lim \limits_{x \, \to \, +\infty} h(x) = +\infty\]

 

Näherungswert für die Nullstelle von \(h(x)\)

 

\[h(x) = \ln \left ( g(x) \right )\]

Nullstellen einer Funktion bestimmen

Nullstelle(n) einer Funktion bestimmen

Eine Nullstelle ist die \(x\)-Koordinate eines gemeinsamen Punktes des Graphen einer Funktion \(x \mapsto f(x)\) mit der \(x\)-Achse. An einer Nullstelle gilt: \(f(x) = 0\).

loading...
Produkt von Funktionen

Satz vom Nullprodukt: Ein Produkt ist genau dann null, wenn einer der Faktoren null ist.

\(f(x) \cdot g(x) = 0 \enspace \Rightarrow \enspace f(x) = 0\) oder \(g(x) = 0\)

Quotient von Funktionen

Ein Quotient von Funktionen ist genau dann null, wenn die Zählerfunktion null ist.

\(\dfrac{f(x)}{g(x)} = 0 \enspace \Rightarrow \enspace f(x) = 0\; (g(x) \neq 0)\)

Quadratische Funktion

Lösungsformel für quadratische Gleichungen (Mitternachtsformel, vgl. Merkhilfe)

 

\[\textcolor{#cc071e}{a}x^2 + \textcolor{#0087c1}{b}x + \textcolor{#e9b509}{c} = 0 \enspace \Leftrightarrow \enspace x_{1,2} = \frac{-\textcolor{#0087c1}{b} \pm \sqrt{\textcolor{#0087c1}{b}^2 - 4\textcolor{#cc071e}{a}\textcolor{#e9b509}{c}}}{2\textcolor{#cc071e}{a}}\]

 

Diskriminante \(D = b^2 -4ac \;\):

\(D < 0\,\): keine Lösung

\(D = 0\,\): genau eine Lösung

\(D > 0\,\): zwei verschiedene Lösungen

 

Folgende Fälle lassen sich einfacher durch Umformung lösen:

 

\[\begin{align*}\textcolor{#cc071e}{a}x^2 + \textcolor{#0087c1}{b}x &= 0 &&| \; x\; \text{ausklammern (Produkt formulieren)} \\[0.8em] x \cdot (ax + b) &= 0 \\[0.8em] \Rightarrow \enspace x = 0 \vee ax + b &= 0 \end{align*}\]

 

\[\begin{align*}\textcolor{#cc071e}{a}x^2 + \textcolor{#e9b509}{c} &= 0 &&| -c \enspace (c \neq 0) \\[0.8em] ax^2 &= -c &&| : a \\[0.8em] x^2 &= -\frac{c}{a} &&| \; \sqrt{\quad} \\[0.8em] x_{1,2} &= \pm \sqrt{-\frac{c}{a}} \end{align*}\]

Zwei Lösungen, falls \(-\dfrac{c}{a} > 0\), keine Lösung, falls \(-\dfrac{c}{a} < 0\)

Ganzrationale Funktion

Vorgehensweise für die Bestimmung der Nullstelle(n) einer ganzrationalen Funktion ab Grad 3:

Vorgehensweise für die Bestimmung der Nullstelle(n) einer ganzrationalen Funktion ab Grad 3

vgl. Abiturskript - 1.1.3 Ganzrationale Funktion, Nullstellen

Gebrochenrationale Funktion

Nullstellen einer gebrochenrationalen Funktion \(f(x) = \dfrac{\textcolor{#0087c1}{z(x)}}{n(x)}\) sind alle Nullstellen des Zählerpolynoms \(\textcolor{#0087c1}{z(x)}\), die nicht zugleich Nullstellen des Nennerpolynoms \(\boldsymbol{n(x)}\) sind.

Ist \(x_0\) eine Nullstelle des Zählerpolynoms \(\boldsymbol{z(x)}\) und zugleich eine vollständig kürzbare Nullstelle des Nennerpolynoms \(\boldsymbol{n(x)}\), so besitzt die gebrochenrationale Funktion \(f\) an der Stelle \(x_0\) eine hebbare Definitionslücke.

(vgl. Abiturskript - 1.2.1 Gebrochenrationale Funktion, Nullstellen und Polstellen)

Wurzelfunktion

Eine Wurzelfunktion \(f(x) = \sqrt{\textcolor{#cc071e}{g(x)}}\) nimmt genau dann den Wert null an, wenn der Radikand (Term unter der Wurzel) null ist.

Sinus- und Kosinusfunktion

\[\sin{x} = 0 \enspace \Rightarrow \enspace x = k \cdot \pi \; (k \in \mathbb Z)\]

\[\cos{x} = 0 \enspace \Rightarrow \enspace x = \dfrac{\pi}{2} + k \cdot \pi \; (k \in \mathbb Z)\]

Nullstellen der Sinusfunktion x ↦ sin x und der Kosinusfunktion x ↦ cos x

Natürliche Logarithmusfunktion

Nullstelle x = 1 der natürlichen Logarithmusfunktion

Die natürliche Logarithmusfunktion \(x \mapsto \ln{x}\) besitzt die einzige Nullstelle \(\boldsymbol{x = 1}\).

\[\ln{\left( \textcolor{#0087c1}{f(x)} \right)} = 0 \enspace \Rightarrow \enspace \textcolor{#0087c1}{f(x) = 1}\]

Natürliche Exponentialfunktion

Graph der natürlichen Exponentialfunktion x → eˣ

Die natürliche Exponentialfunktion \(x \mapsto e^x\) sowie jede verkettete Funktion \(x \mapsto e^{f(x)}\) besitzt keine Nullstelle!

Es gilt: \(\ln 1 = 0 \quad \Longrightarrow \quad g(x) = 1\) an der Stelle \(x \approx -0{,}6\)

 

\(\Longrightarrow \quad x_N= -0{,}6\) ist ein Näherungswert für die Nullstelle von \(h\).

 

Verlauf der Graphen der Funktion h

Verlauf des Graphen von \(h\)