Nullstelle der natürlichen Logarithmusfunktion

Aufgabe 1

Geben Sie von folgenden Funktionen jeweils die maximale Definitionsmenge an und bestimmen Sie jeweils die Nullstelle(n). Bilden Sie jeweils die Ableitungsfunktion und vereinfachen Sie soweit wie möglich.

a) \(f(x) = 2\ln{(3\sqrt{x})}\)

b) \(g(x) = xe^{4 - 3x} + \dfrac{x^{2}}{e^{3x - 4}}\)

c) \(h(x) = x^{3} \cdot \sin{\left( \dfrac{\pi}{3}x \right)}\)

 

Aufgabe 2

Gegeben ist die Funktion \(f \colon x \mapsto \ln{\left( -\dfrac{3}{x} \right)}\). Der Graph der Funktion \(f\) wird mit \(G_{f}\) bezeichnet.

a) Bestimmen Sie das Verhalten von \(f\) an den Rändern des Definitionsbereichs \(D_{f}\).

b) Zeigen Sie durch Rechnung, dass \(G_{f}\) in \(D_{f}\) linksgekrümmt ist.

 

Aufgabe 3

 

Aufgabe 4

Gegeben sind die Kugel \(K_{1}\) mit dem Mittelpunkt \(M_{1}(-3|5|8)\) und dem Radius \(r_{1} = 3\) sowie die Kugel \(K_{2}\) mit dem Mittelpunkt \(M_{2}(7|-5|3)\) und dem Radius \(r_{2} = 7\).

Untersuchen Sie die gegenseitige Lage der Kugeln \(K_{1}\) und \(K_{2}\) und berechnen Sie ggf. den Abstand der beiden Kugeln.

 

Aufgabe 5

Bei der Herstellung wiederaufladbarer Batterien treten zwei Fehler auf.

\(A\): Die Abmessung der Batterie weicht von der Typennorm ab.

\(L\): Die Ladekapazität der Batterie liegt 20 % unter dem Sollwert.

Laut Qualitätskontrolle weisen 15 % der Batterien den Fehler \(L\) auf und 5 % den Fehler \(A\). Die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens einer der beiden Fehler auftritt, wird mit 17 % angegeben.

a) Beschreiben Sie folgende Ereignisse im Sachzusammenhang:

α) \(\overline{\overline{A} \cap \overline{L}}\)

β) \((A \cap \overline{L}) \cup (\overline{A} \cap L)\)

b) Erstellen Sie eine den Sachverhalt beschreibende vollständig ausgefüllte Vierfeldertaffel.

c) Zeigen Sie dass die Ereignisse \(A\) und \(L\) stochastisch abhängig sind.

d) Erstellen Sie ein vollständig ausgefülltes Baumdiagramm, beginnend mit dem Ereignis \(A\). Beschreiben Sie, woran sich die stochastische Abhängigkeit der Ereignisse \(A\) und \(L\) an diesem Baumdiagramm erkennen lässt.

Geben Sie von folgenden Funktionen jeweils die maximale Definitionsmenge an und bestimmen Sie jeweils die Nullstelle(n). Bilden Sie jeweils die Ableitungsfunktion und vereinfachen Sie soweit wie möglich.

a) \(f(x) = 2\ln{(3\sqrt{x})}\)

b) \(g(x) = xe^{4 - 3x} + \dfrac{x^{2}}{e^{3x - 4}}\)

c) \(h(x) = x^{3} \cdot \sin{\left( \dfrac{\pi}{3}x \right)}\)

Gegeben sind die folgenden Funktionen mit jeweils maximaler Definitionsmenge:

Geben Sie jeweils die Definitionsmenge an und untersuchen Sie die Funktionen auf Nullstellen.

(5 BE)

Ermitteln Sie die Gleichung der Tangente an \(G_{g}\) im Schnittpunkt von \(G_{g}\) mit der \(x\)-Achse.

(4 BE)

Gegeben ist die Funktion \(f \colon x \mapsto \dfrac{\ln{x}}{x^{2}}\) mit maximalem Definitionsbereich \(D\).

Geben Sie \(D\) sowie die Nullstelle von \(f\) an und bestimmen Sie \(\lim \limits_{x \, \to \, 0} f(x)\).

(3 BE)

Geben Sie für die Funktionen \(f_{1}\) und \(f_{2}\) jeweils die maximale Definitionsmenge und die Nullstelle an.

 

(4 BE)

Gegeben ist die Funktion \(h \colon x \mapsto \ln{(2x - 3)}\) mit Definitionsmenge \(D_h = \; ]\frac{3}{2};+\infty[\). Geben Sie die Nullstelle von \(h\) sowie einen Term der ersten Ableitungsfunktion von \(h\) an.

(2 BE)

Gegeben ist die Funktion \(f \colon x \mapsto \ln{(x - 3)}\) mit maximaler Definitionsmenge \(D\) und Ableitungsfunktion \(f'\).

Geben Sie \(D\) sowie die Nullstelle von \(f\) an. 

(2 BE) 

Betrachtet wird nun die Funktion \(h\) mit \(h(x) = \ln(g(x))\). Geben Sie mithilfe des Verlaufs von \(G_g\) die maximale Definitionsmenge \(D_h\) von \(h\), das Verhalten von \(h\) an den Grenzen von \(D_h\) sowie einen Näherungswert für die Nullstelle von \(h\) an.

(5 BE)

Geben Sie für \(x \in \mathbb R^+\) die Lösungen der folgenden Gleichung an:

\[(\ln x - 1) \cdot (e^x - 2) \cdot \left( \frac{1}{x} - 3 \right) = 0\]

(3 BE)

Geben Sie für die Funktion \(f\) mit \(f(x) = \ln (2013 - x)\) den maximalen Definitionsbereich \(D\), das Verhalten von \(f\) an den Grenzen von \(D\) sowie die Schnittpunkte des Graphen von \(f\) mit den Koordinatenachsen an.

(5 BE)