Eine Gärtnerei, die Tulpen in den Farben Gelb, Orange und Rot züchtet, stellt Sträuße mit jeweils 15 Tulpen zusammen.
- Einer der Sträuße soll Tulpen in zwei verschiedenen Farben enthalten. Die Anzahl der Möglichkeiten, diesen Strauß zusammenzustellen, kann mit dem Term \(\displaystyle \binom{3}{2} \cdot 14\) berechnet werden. Beschreiben Sie für jeden der beiden Faktoren die Bedeutung im Sachzusammenhang.
- In einem der Sträuße sollen zu jeder der drei Farben mindestens vier und höchstens sechs Tulpen enthalten sein. Bestimmen Sie die Anzahl der Möglichkeiten, diesen Strauß zusammenzustellen.
Lösung zu Aufgabe A8
a) Bedeutung der Faktoren des Terms \(\displaystyle \binom{3}{2} \cdot 14\) im Sachzusammenhang
Der Binomialkoeffizient \(\displaystyle \binom{3}{2}\) gibt die Anzahl der Möglichkeiten an, zwei von drei möglichen Farben auszuwählen. Jede Farbe wird einmal gewählt. Die Reihenfolge der Farbwahl spielt für die Zusammenstellung des Straußes keine Rolle (Urnenmodell: Ohne Zurücklegen (ohne Wiederholung), ohne Beachtung der Reihenfolge).
Grundformeln der Kombinatorik
Viele mehrstufige Zufallsexperimente können mithilfe sogenannter Urnenmodelle veranschaulicht werden. Aus einer Urne mit \(\boldsymbol{n}\) unterscheidbaren Kugeln wird \(\boldsymbol{k}\)-mal eine Kugel gezogen.
Die Modelle lassen sich in die Fälle mit/ohne Zurücklegen bzw. mit/ohne Beachtung der Reihenfolge der gezogenen Kugeln unterteilen.
\[n^{k}\]
\(n\): Anzahl der Unterscheidungsmerkmale
\(k\): Anzahl der Wiederholungen
Beispiel
Wieviele Möglichkeiten gibt es, vier Wände eines Kinderzimmers in den Farben Seesternorange, Frochschgrün, Libellenblau, Käferrot oder Bienengelb zu streichen?
\(\textcolor{#cc071e}{n = 5}\), da fünf verschiedene Farben zur Verfügung stehen.
\(\textcolor{#0087c1}{k = 4}\), da viermal eine Farbe zu wählen ist.
Somit \(\textcolor{#cc071e}{5}^{\textcolor{#0087c1}{4}} = 625\) Möglichkeiten
- nicht abiturrelevant -
\(n \cdot (n - 1) \cdot ... \cdot (n - k + 1) = \dfrac{n!}{(n-k)!}\)
Spezialfall: \(n!\) für \(k = n\) (Permutationen)
\(n\): Anzahl der Unterscheidungsmerkmale
\(k\): Anzahl der Wiederholungen
Beispiel
Wieviele Möglichkeiten gibt es, vier Wände eines Kinderzimmers in den Farben Seesternorange, Frochschgrün, Libellenblau, Käferrot oder Bienengelb zu streichen, wenn jede Wand eine andere Farbe bekommen soll?
\(\textcolor{#cc071e}{n = 5}\), da fünf verschiedene Farben zur Verfügung stehen.
\(\textcolor{#0087c1}{k = 4}\), da viermal eine Farbe zu wählen ist.
Für die erste Wand stehen fünf Farben zur Auswahl, für die zweite Wand noch vier Farben, für die dritte Wand noch drei Farben und für die vierte Wand schließlich nur noch zwei Farben.
Somit \(\underbrace{\textcolor{#cc071e}{5} \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2}_{\textcolor{#0087c1}{k\,=\,4}} = 120\) Möglichkeiten
\[\binom{n}{k} = \frac{n!}{k! \cdot (n - k)!} = \frac{n \cdot (n - 1) \cdot ... \cdot (n - k + 1)}{k!}\]
Der Binomialkoeffizient \(\displaystyle \binom{n}{k}\) gibt an, wie viele Möglichkeiten es gibt, aus einer Menge mit \(n\) Elementen eine Teilmenge mit \(k\) Elementen zu bilden.
Beispiel
Von 30 Schüler*innen können acht Schüler*innen an einer Studienfahrt teilnehmen. Die Teilnehmer*innen werden per Los entschieden. Wieviele mögliche Gruppierungen gibt es?
\(n = 30\)
\(k = 8\)
Somit \(\displaystyle \binom{30}{8} = 5852925\) mögliche Gruppen aus jeweils acht Schüler*innen.
Der Faktor \(14\) bedeutet die Anzahl der Möglichkeiten, für einen Strauß aus 15 Tulpen die Anzahl der Tulpen in zwei Farben zu kombinieren oder anders gesagt, die Anzahl der Möglichkeiten für die Anzahl der Tulpen einer der beiden Farben.
\[\left.\begin{align*}&\Large{\textcolor{#e9b509}{\ast}\textcolor{#cc071e}{\ast\ast\ast\ast\ast\ast\ast\ast\ast\ast\ast\ast\ast\ast}} \\[0.8em] &\Large{\textcolor{#e9b509}{\ast\:\ast}\textcolor{#cc071e}{\ast\ast\ast\ast\ast\ast\ast\ast\ast\ast\ast\ast\:\ast}} \\[0.8em] &\Large{\textcolor{#e9b509}{\ast\ast\ast}\textcolor{#cc071e}{\ast\ast\ast\ast\ast\ast\ast\ast\ast\ast\ast\ast}} \\[0.8em] & \qquad \qquad \qquad \qquad \vdots \\[0.8em] &\smash{\underbrace{\Large{\textcolor{#e9b509}{\ast\ast\ast\ast\ast\ast\ast\ast\ast\ast\ast\ast\ast\:\ast}\textcolor{#cc071e}{\:\ast}}}_{\Large{\text{15 Tulpen in zwei Farben}}}} \end{align*}\right\}\;\text{14 Möglichkeiten}\]
b) Anzahl der Möglichkeiten ...
... einen Strauß zusammenzustellen, der zu jeder der drei Farben mindestens vier und höchstens sechs Tulpen enthält.
Es gibt eine Möglichkeit, einen Strauß aus jeweils fünf Tulpen von einer der drei Farben zusammenzustellen.
Außerdem kann der Strauß aus vier Tulpen einer ersten Farbe, fünf Tulpen einer zweiten Farbe und sechs Tulpen der dritten Farbe bestehen. Dafür gibt es \(3 \cdot 2 \cdot 1 = 6\) Möglichkeiten.
Für die Wahl der ersten Farbe gibt es 3 Möglichkeiten und für die Wahl der zweiten Farbe noch 2 Möglichkeiten. Es verbleibt eine mögliche dritte Farbe (Urnenmodell: Ohne Zurücklegen (ohne Wiederholung), mit Beachtung der Reihenfolge).
Es gibt also insgesamt sieben Möglichkeiten.
(Vgl. Mathematik Abiturskript Bayern G9 - 2 Stochastik, 2.3 Kombinatorik - Urnenmodelle)
