Geben Sie den Term einer Stammfunktion der in \(\mathbb R\) definierten Funktion \(k \colon x \mapsto x - g(x)\) an.
(2 BE)
Lösung zu Teilaufgabe 4c
\(g(x) = 0{,}7 \cdot e^{0{,}5x} -0{,}7; D_{g} = \mathbb R\) (vgl. Angabe Aufgabe 4)
\[k(x) = x - g(x); \; D_{k} = \mathbb R\]
Beispielsweise ist \(K(x) = \dfrac{1}{2}x^{2} + 0{,}7x - 1{,}4 \cdot e^{0{,}5x}\) eine Stammfunktion von \(k(x)\).
Mögliche Vorgehensweise (nicht verlangt)
Zunächst wird der Funktionsterm \(k(x)\) mithilfe des Funktionsterms \(g(x)\) ausformuliert.
\[\begin{align*} k(x) &= x - g(x) \\[0.8em] &=x - \left( 0{,}7 \cdot e^{0{,}5x} -0{,}7 \right) \\[0.8em] &= x + 0{,}7 - 0{,}7 \cdot e^{0{,}5x} \end{align*}\]
Die Menge aller Stammfunktion von \(k(x)\) ist gegeben durch das unbestimmte Integral \(\displaystyle \int k(x)dx\).
\[\int k(x)dx = \int \left(x + 0{,}7 - 0{,}7 \cdot e^{0{,}5x}\right)dx = K(x) + C\]
Wichtige unbestimmte Integrale (\(C \in \mathbb R\), vgl. Merkhilfe)
\[\int x^{r} dx = \frac{x^{r + 1}}{r + 1} + C \quad (r \neq - 1)\]
\[\int \frac{1}{x}\,dx = \ln{\vert x \vert} + C\]
\[\int \sin{x} \, dx = -\cos{x} + C\]
\[\int \cos{x} \, dx = \sin{x} + C\]
\[\int e^{x} dx = e^{x} + C\]
\[\int \ln{x}\, dx = -x + x \cdot \ln{x} + C\]
\[\int \frac{f'(x)}{f(x)} dx = \ln{\vert f(x) \vert} + C\]
\[\int f'(x) \cdot e^{f(x)} dx = e^{f(x)} + C\]
\(\displaystyle \int f(ax + b) \, dx = \frac{1}{a} \cdot F(ax + b) + C\), wobei \(F\) eine Stammfunktion von \(f\) ist.
Es gilt die Faktorregel und die Summenregel:
\(\displaystyle \int c \cdot f(x)\,dx = c \cdot \int f(x)\,dx\) mit \(c \in \mathbb R\)
\( \displaystyle \int \left[f(x) \pm g(x) \right] dx = \int f(x)\,dx \pm \int g(x)\,dx\)
Mithilfe der unbestimmten Integrale
\(\textcolor{#cc071e}{\displaystyle \int x^{r} dx = \dfrac{x^{r + 1}}{r + 1} + C \quad (r \neq - 1)}\),
\(\textcolor{#0087c1}{\displaystyle \int c\,dx = cx + C}\),
\(\textcolor{#89ba17}{\displaystyle \int e^{x} dx = e^{x} + C}\) und
\(\textcolor{#89ba17}{\displaystyle \int f(ax + b) \, dx = \frac{1}{a} \cdot F(ax + b) + C}\)
ergibt sich:
\[\begin{align*}\int k(x)dx &= \int \left(\textcolor{#cc071e}{x} + \textcolor{#0087c1}{0{,}7} - 0{,}7 \cdot \textcolor{#89ba17}{e^{0{,}5x}}\right)dx \\[0.8em] &= \textcolor{#cc071e}{\frac{x^{1 + 1}}{1 + 1}} + \textcolor{#0087c1}{0{,}7x} - 0{,}7 \cdot \textcolor{#89ba17}{\frac{1}{0{,}5} \cdot e^{0{,}5x}} + C \\[0.8em] &= \frac{x^{2}}{2} + 0{,}7x - 0{,}7 \cdot 2 \cdot e^{0{,}5x} + C \\[0.8em] &= \frac{1}{2}x^{2} + 0{,}7x - 1{,}4 \cdot e^{0{,}5x} + C \end{align*}\]
Somit ist \(K(x) = \dfrac{1}{2}x^{2} + 0{,}7x - 1{,}4 \cdot e^{0{,}5x}\) eine Stammfunktion von \(k(x)\) (für \(C = 0\)).