Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass genau einer der zehn Kandidaten keine Aufgabe aus dem Fachgebiet Mathematik lösen muss.
(2 BE)
Lösung zu Teilaufgabe 3c
Binomialverteilung
Binomialverteilte Zufallsgröße
Für eine Zufallsgröße \(X\), welche bei einer Bernoulli-Kette der Länge \(n\) die Anzahl der Treffer \(k \in \{0,1,\dots,n\}\) mit der Trefferwahrscheinlichkeit \(p\) angibt, gilt:
Binomialverteilung (vgl. Merkhilfe)
\[P_{p}^{n}(X = k) = B(n;p;k) = \binom{n}{k} \cdot p^{k} \cdot (1 - p)^{n - k} \quad (0 \leq k \leq n)\]
Eine Binomialverteilung ist durch die Parameter \(n\) und \(p\) eindeutig bestimmt und wird durch das Symbol \(B(n:p)\) gekennzeichnet. \(X\) heißt binomialverteilt nach \(B(n;p)\).
Voraussetzung für eine Binomialverteilung
Ein Zufallsexperiment, bei dem nur zwei sich gegenseitig ausschließende Ereignisse \(A\) und \(\overline{A}\) mit konstanten Wahrscheinlichkeiten eintreten können (Bernoulli-Experiment).
Zufallsgröße \(K \colon \enspace\) "Anzahl der Kandidaten, die keine Aufgabe aus dem Fachgebiet Mathematik lösen müssen"
Analyse der Angabe:
"... der zehn Kandidaten ..."
\(\Longrightarrow \quad n = 10\)
"... keine Aufgabe aus dem Fachgebiet Mathematik lösen muss."
\(\Longrightarrow \quad p = P(X = 0) = \frac{1}{9}\,\) (siehe Teilaufgabe 3b)
"... Wahrscheinlichkeit dafür, dass genau einer der zehn Kandidaten ..."
\(\Longrightarrow \quad K = 1\)
Die Zufallsgröße \(K\) ist nach \(B(10;\frac{1}{9})\) binomialverteilt.
Das Stochastische Tafelwerk mit Abiturzulassung beinhaltet keine Binomialverteilung für eine Trefferwahrscheinlichkeit \(p = \frac{1}{9}\,\). Die Wahrscheinlichkeit \(P^{10}_{\frac{1}{9}}(K = 1)\) muss errechnet werden.
Anwenden der Formel von Bernoulli:
Formel von Bernoulli
Wahrscheinlichkeit für genau \(k\) Treffer bei einer Bernoullikette der Länge \(n\) und der Trefferwahrscheinlichkeit \(p\) für das Eintreten eines betrachteten Ereignisses:
\[P(X = k) = B(n;p;k) = \binom{n}{k} \cdot p^k \cdot (1 - p)^{n - k}\]
\[k \in \{0,1,\dots,n\}\]
\[\begin{align*}P^{10}_{\frac{1}{9}}(K = 1) &= B(10; \frac{1}{9}; 1) \\[0.8em] &= \binom{10}{1} \cdot \left( \frac{1}{9} \right)^1 \cdot \left(1 - \frac{1}{9} \right)^{10 - 1} \\[0.8em] &= 10 \cdot \frac{1}{9} \cdot \left( \frac{8}{9} \right)^9 \\[0.8em] &\approx 0{,}385 = 38{,}5\,\%\end{align*}\]
