Erläutern Sie, dass die in \(\mathbb R\) definierte Funktion \(h \colon x \mapsto 4 - e^x\) den Wertebereich \(]-\infty;4[\) besitzt.

(2 BE)

Lösung zu Teilaufgabe 3c

 

Wertebereich einer Funktion

 

\[h(x) = 4 - e^{x}\,; \enspace D = \mathbb R\,; \enspace W = \; ]-\infty;4[\]

 

Der Graph der Funktion \(h\) entsteht aus dem Graphen der natürlichen Exponentialfunktion \(x \mapsto e^{x}\) mit dem Wertebereich \(\mathbb R^{+}\) durch

1) Spiegelung an der \(x\)-Achse

Spiegeln von Funktionsgraphen

Spiegeln von Funktionsgraphen

Spiegelung an der \(x\)-Achse: \(g(x) = -f(x)\)

Spiegelung an der \(y\)-Achse: \(h(x) = f(-x)\)

\[\Rightarrow \enspace x \mapsto - e^{x}\,; \enspace W = \mathbb R^{-} = \; ]-\infty;0[\]

und

2) Verschiebung um 4 in \(y\)-Richtung.

Verschieben von Funktionsgraphen

Verschieben von Funktionsgraphen

\[g(x) = f(x +a) + b\]

Verschiebung in \(x\)-Richtung um \(-a\), Verschiebung in \(y\)-Richtung um \(b\)

\[\Rightarrow \enspace x \mapsto 4 - e^{x}\,; \enspace W = \; ]-\infty;4[\]

 

  • Entstehung von h - Grafik 1
  • Entstehung von h - Grafik 2
  • Entstehung von h - Grafik 3

Entstehung des Graphen der Funktion \(h \colon x \mapsto 4 - e^{x}\) aus dem Graphen der natürlichen Exponentialfunktion \(x \mapsto e^x\)