Erläutern Sie, dass die in \(\mathbb R\) definierte Funktion \(h \colon x \mapsto 4 - e^x\) den Wertebereich \(]-\infty;4[\) besitzt.
(2 BE)
Lösung zu Teilaufgabe 3c
Wertebereich einer Funktion
\[h(x) = 4 - e^{x}\,; \enspace D = \mathbb R\,; \enspace W = \; ]-\infty;4[\]
Der Graph der Funktion \(h\) entsteht aus dem Graphen der natürlichen Exponentialfunktion \(x \mapsto e^{x}\) mit dem Wertebereich \(\mathbb R^{+}\) durch
1) Spiegelung an der \(x\)-Achse
Spiegeln von Funktionsgraphen
Spiegelung an der \(x\)-Achse: \(g(x) = -f(x)\)
Spiegelung an der \(y\)-Achse: \(h(x) = f(-x)\)
\[\Rightarrow \enspace x \mapsto - e^{x}\,; \enspace W = \mathbb R^{-} = \; ]-\infty;0[\]
und
2) Verschiebung um 4 in \(y\)-Richtung.
Verschieben von Funktionsgraphen
\[g(x) = f(x +a) + b\]
Verschiebung in \(x\)-Richtung um \(-a\), Verschiebung in \(y\)-Richtung um \(b\)
\[\Rightarrow \enspace x \mapsto 4 - e^{x}\,; \enspace W = \; ]-\infty;4[\]
Entstehung des Graphen der Funktion \(h \colon x \mapsto 4 - e^{x}\) aus dem Graphen der natürlichen Exponentialfunktion \(x \mapsto e^x\)
