Untersuchen Sie das Monotonieverhalten von \(G_{h}\). Geben Sie den Grenzwert von \(h\) für \(x \to +\infty\) an und begründen Sie, dass \([-3;+\infty[\) die Wertemenge von \(h\) ist.
(4 BE)
Lösung zu Teilaufgabe 1b
Monotonieverhalten und Verhalten im Unendlichen des Graphen einer Funktion, Wertemenge einer Funktion
Anmerkung:
Der Grenzwert von \(h\) ist lediglich anzugeben. Jede diesbezügliche Erklärung kann entfallen.
\[h(x) = 3x \cdot (-1 + \ln{x}); \; D_{h} = \mathbb R^{+}\]
Untersuchung des Monotonieverhaltens von \(G_{h}\)
Anwendung der Differetialrechnung:
Monotoniekriterium
\(\textcolor{#cc071e}{f'(x) < 0}\) im Intervall \( I \; \Rightarrow \; G_{f}\) fällt streng monoton in \(I\)
\(\textcolor{#0087c1}{f'(x) > 0}\) im Intervall \( I \; \Rightarrow \; G_{f}\) steigt streng monoton in \(I\)
(vgl. Merkhilfe)
Gemäß dem Monotoniekriterium ist der Graph der Funktion \(h\) in einem zu bestimmenden Intervall streng monoton fallend, wenn dort \(h'(x) < 0\) gilt, und streng monoton steigend, wenn dort \(h'(x) > 0\) gilt.
Es sind also die Lösungen der Ungleichungen \(h'(x) < 0\) und \(h'(x) > 0\) zu ermitteln.
Die Ableitungsfunktion \(h'(x)\) ist aus Teilaufgabe 1a bekannt:
\[h'(x) = 3\ln{x}\]
Die in \(\mathbb R^{+}\) definierte natürliche Logarithmusfunktion legt den Definitionsbereich der Ableitungsfunktion \(h'(x)\) fest.
\[\Longrightarrow \quad D_{h'} = \mathbb R^{+} = \; ]0;+\infty[\]
Monotonieintervalle von \(G_{h}\) bestimmen:
\[\begin{align*} h'(x) &< 0 \\[0.8em] 3\ln{x} &< 0 & &| : 3 \\[0.8em] \ln{x} &< 0 & &| \; e^{(\dots)}\; \text{zur Basis}\;e\;\text{potenzieren} \\[0.8em] e^{\ln{x}} &< e^{0} & &| \; e^{\ln{x}} = x;\; \left(\text{allg.:}\; a^{\log_{a}{x}} = x \right) \\[0.8em] x &< 1 \end{align*}\]
\(\Longrightarrow \quad h'(x) < 0\) für \(x \in \; ]0;1[\)
\(\Longrightarrow \quad G_{h}\) ist für \(x \in \; ]0;1[\) streng monoton fallend.
\[\begin{align*} h'(x) &> 0 \\[0.8em] 3\ln{x} &> 0 & &| : 3 \\[0.8em] \ln{x} &> 0 & &| \; e^{(\dots)}\; \text{zur Basis}\;e\;\text{potenzieren} \\[0.8em] e^{\ln{x}} &> e^{0} & &| \; e^{\ln{x}} = x; \; \left( \text{allg.:}\; a^{\log_{a}{x}} = x \right) \\[0.8em] x &> 1 \end{align*}\]
\(\Longrightarrow \quad h'(x) > 0\) für \(x \in \; ]1;+\infty[\)
\(\Longrightarrow \quad G_{h}\) ist für \(x \in \; ]1;+\infty[\) streng monoton steigend.
Alternative Untersuchung bzw. Formulierung:
Das Vorzeichen der Ableitungsfunktion \(h'(x) = 3\ln{x}\) wird durch die Natürliche Logarithmusfunktion \(\ln{x}\) bestimmt. Die in \(\mathbb R^{+}\) definierte natürliche Logarithmusfunktion besitzt die einzige Nullstelle \(x = 1\). Ihre Funktionswerte sind für \(x \in \; ]0;1[\) negativ und für \(x \in \; ]1;+\infty[\) positiv.
Somit folgt für das Monotonieverhalten von \(G_{h}\):
Anwendung der Differetialrechnung:
Monotoniekriterium
\(\textcolor{#cc071e}{f'(x) < 0}\) im Intervall \( I \; \Rightarrow \; G_{f}\) fällt streng monoton in \(I\)
\(\textcolor{#0087c1}{f'(x) > 0}\) im Intervall \( I \; \Rightarrow \; G_{f}\) steigt streng monoton in \(I\)
(vgl. Merkhilfe)
\(h'(x) < 0\) für \(x \in \; ]0;1[\)
\(\Longrightarrow \quad G_{h}\) ist für \(x \in \; ]0;1[\) streng monoton fallend.
\(h'(x) > 0\) für \(x \in \; ]1;+\infty[\)
\(\Longrightarrow \quad G_{h}\) ist für \(x \in \; ]1;+\infty[\) streng monoton steigend.
Grenzwert von \(h\) für \(x \to +\infty\)
\[h(x) = 3x \cdot (-1 + \ln{x})\]
\[\lim \limits_{x\,\to\,+\infty} h(x) = \lim \limits_{x\,\to\,+\infty} \underbrace{3x}_{\to\,+\infty} \cdot \underbrace{(-1 + \underbrace{\ln{x}}_{\to\,+\infty})}_{\to\,+\infty} = +\infty\]
Begründung, dass \([-3;+\infty[\) die Wertemenge von \(h\) ist
\[h(x) = 3x \cdot (-1 + \ln{x}); \; D_{h} = \mathbb R^{+} = \; ]0;+\infty[\]
Das Monotonieverhalten von \(G_{h}\) ist bereits bekannt:
\(h'(x) < 0\) für \(x \in \; ]0;1[\)
\(G_{h}\) ist für \(x \in \; ]0;1[\) streng monoton fallend.
\(h'(x) > 0\) für \(x \in \; ]1;+\infty[\)
\(G_{h}\) ist für \(x \in \; ]1;+\infty[\) streng monoton steigend.
Zudem ist \(x = 1\) einzige Nullstelle der Ableitungsfunktion \(h'(x) = 3\ln{x}\) (vgl. Teilaufgabe 1a), da \(x = 1\) einzige Nullstelle der natürlichen Logarithmusfunktion ist.
Anwendung der Differentialrechnung:
Extrempunkte
Ist \(f'(x_{0}) = 0\) und wechselt \(f'\) an der Stelle \(x_{0}\) das Vorzeichen, so hat \(G_{f}\) an der Stelle \(x_{0}\) einen Extrempunkt.
(vgl. Merkhilfe)
Folglich ist \(x = 1\) einzige Extremstelle der Funktion \(h\) und \(G_{h}\) besitzt in \(D_{h} = \; ]0;+\infty[\) den absoluten Tiefpunkt \(TiP(1|h(1))\).
Der Funktionswert \(h(1)\) legt somit die untere Grenze der Wertemenge der Funktion \(h\) fest.
\[\left. \begin{align*} &h'(x) < 0 \; \text{für} \; x \in \; ]0;1[ \\[0.8em] &h'(1) = 0 \\[0.8em] &h'(x) > 0 \; \text{für} \; x \in \; ]1;+\infty[ \end{align*} \right\} \enspace \Rightarrow \enspace \text{absoluter Tiefpunkt}\; TiP(1|h(1))\]
Funktionswert \(h(1)\) berechnen:
\[h(1) = 3 \cdot 1 \cdot (-1) + \ln{1} = 3 \cdot (-1 + 0) = -3\]
Schlussfolgerung:
Mit \(h(1) = -3\) und \(\lim \limits_{x\,\to\,+\infty} h(x) = +\infty\) ergibt sich die Wertemenge der Funktion \(h\) zu \(W_{h} = [-3;+\infty[\).
Veranschaulichung mithilfe einer Monotonietabelle:
\[h(x) = 3x \cdot (-1 + \ln{x}); \; D_{h} = ]0;+\infty[\]
\[h'(x) = 3\ln{x}\]
| \(x\) | \(x \in \; ]0;1[\) | \(x = 1\) | \(x \in \; ]1;+\infty[\) |
| \(h'(x)\) | \(-\) | \(0\) | \(+\) |
| \(G_{h}\) | \(\searrow\) | absoluter Tiefpunkt \(TiP(1|h(1))\) | \(\nearrow\) |
