Bei einem zweiten Spieler beträgt nach mehrmaligem Drehen des Glücksrads die Summe der erzielten Zahlen 60. Er möchte nun das Spiel entweder sofort beenden oder das Glücksrad genau ein weiteres Mal drehen. Berechnen Sie für den Fall, dass sich der Spieler für die weitere Drehung entscheiden sollte, den Erwartungswert für die Auszahlung. Geben Sie eine Empfehlung ab, ob sich der Spieler für das Beenden des Spiels oder für die weitere Drehung entscheiden sollte, und begründen Sie Ihre Empfehlung.
(4 BE)
Lösung zu Teilaufgabe 3b
Zufallsgröße \(X\): Auszahlungsbetrag in Euro nach einer weiteren Drehung des Glücksrads.
\[E(X) = (0+61+62+63+64+65+66+67+68+69)\cdot 0{,}1 = 58{,}5\]
Da \(58{,}5 < 60\), sollte der Spieler das Spiel sofort beenden.
Ausführliche Erklärung (nicht verlangt)
Für den Fall, dass der Spieler bei einer weiteren Drehung eine „0" erzielt, erhält er keine Auszahlung (vgl. Angabe Aufgabe 3).
Für den Fall, dass der Spieler bei einer weiteren Drehung eine Zahl zwischen 1 und 9 erzielt, wird diese zu der bereits erzielten Summe 60 addiert und er erhält eine Auszahlung in Höhe von 61, 62, 63 ... oder 69 Euro.
Es sei \(X\) die Zufallsgröße, welche den Auszahlungsbetrag in Euro nach einer weiteren Drehung des Glücksrads beschreibt.
Da die Sektoren des Glücksrads gleich groß sind, und somit jede Zahl von 0 bis 9 mit der Wahrscheinlichkeit \(\dfrac{1}{10} = 0{,}1\) erzielt wird, beträgt die Wahrscheinlichkeit für jeden Wert \(\textcolor{#cc071e}{x_i}\) von \(X\) jeweils \(\textcolor{#cc071e}{0{,}1}\).
Es ergibt sich folgende Wahrscheinlichkeitsverteilung der Zufallsgröße \(X\):
| \(X = x_i\) | \(\textcolor{#0087c1}{0}\) | \(\textcolor{#0087c1}{61}\) | \(\textcolor{#0087c1}{62}\) | \(\textcolor{#0087c1}{63}\) | \(\textcolor{#0087c1}{64}\) | \(\textcolor{#0087c1}{65}\) | \(\textcolor{#0087c1}{66}\) | \(\textcolor{#0087c1}{67}\) | \(\textcolor{#0087c1}{68}\) | \(\textcolor{#0087c1}{69}\) |
| \(P(X = x_i)\) | \(\textcolor{#cc071e}{0{,}1}\) | \(\textcolor{#cc071e}{0{,}1}\) | \(\textcolor{#cc071e}{0{,}1}\) | \(\textcolor{#cc071e}{0{,}1}\) | \(\textcolor{#cc071e}{0{,}1}\) | \(\textcolor{#cc071e}{0{,}1}\) | \(\textcolor{#cc071e}{0{,}1}\) | \(\textcolor{#cc071e}{0{,}1}\) | \(\textcolor{#cc071e}{0{,}1}\) | \(\textcolor{#cc071e}{0{,}1}\) |
Erwartungswert der Zufallsgröße \(\boldsymbol{X}\)
Ist \(X\) eine Zufallsgröße, deren mögliche Werte \(x_{1}, x_{2}, ..., x_{n}\) sind, dann gilt:
Erwartungswert \(\boldsymbol{\mu}\) der Zufallsgröße \(\boldsymbol{X}\) (vgl. Merkhilfe)
\[\begin{align*}\mu = E(X) &= \sum \limits_{i = 1}^{n} x_{i} \cdot p_{i} \\[0.8em] &= x_{1} \cdot p_{1} + x_{2} \cdot p_{2} \,+\, ... \,+\, x_{n} \cdot p_{n} \end{align*}\]
Der Erwartungswert \(\boldsymbol{\mu}\) einer Zufallsgröße \(X\) gibt den Mittelwert der Zufallsgröße an, der bei oftmaliger Wiederholung eines Zufallsexperiments zu erwarten ist.
\[\begin{align*}E(X) &= \textcolor{#0087c1}{0} \cdot \textcolor{#cc071e}{0{,}1} + \textcolor{#0087c1}{61} \cdot \textcolor{#cc071e}{0{,}1} + \textcolor{#0087c1}{62} \cdot \textcolor{#cc071e}{0{,}1} + \textcolor{#0087c1}{63} \cdot \textcolor{#cc071e}{0{,}1} + \textcolor{#0087c1}{64} \cdot \textcolor{#cc071e}{0{,}1} + \textcolor{#0087c1}{65} \cdot \textcolor{#cc071e}{0{,}1} + \textcolor{#0087c1}{66} \cdot \textcolor{#cc071e}{0{,}1} + \textcolor{#0087c1}{67} \cdot \textcolor{#cc071e}{0{,}1} + \textcolor{#0087c1}{68} \cdot \textcolor{#cc071e}{0{,}1}+ \textcolor{#0087c1}{69} \cdot \textcolor{#cc071e}{0{,}1} \\[0.8em] &= (\textcolor{#0087c1}{0} + \textcolor{#0087c1}{61} + \textcolor{#0087c1}{62} + \textcolor{#0087c1}{63} + \textcolor{#0087c1}{64} + \textcolor{#0087c1}{65} + \textcolor{#0087c1}{66} + \textcolor{#0087c1}{67} + \textcolor{#0087c1}{68} + \textcolor{#0087c1}{69}) \cdot \textcolor{#cc071e}{0{,}1} \\[0.8em] &= 58{,}5 \end{align*}\]
Empfehlung mit Begründung
Da der zu erwartende Auszahlungsbetrag bei einer weiteren Drehung mit 58,50 Euro kleiner ist, als der bereits erspielte Gewinn in Höhe von 60 Euro, sollte der Spieler das Spiel sofort beenden.
