Abiturlösungen Mathematik Bayern 2017

Aufgaben mit ausführlichen Lösungen

Der Großhändler behauptet, dass sich die Wahrscheinlichkeit für das Keimen eines Samenkorns der Qualität B durch eine veränderte Aufbereitung des Saatguts auf mehr als 70 % erhöht hat. Deshalb soll die Nullhypothese „Die Wahrscheinlichkeit für das Keimen eines Samenkorns der Qualität B ist höchstens 70 %." auf einem Signifikanzniveau von 5 % getestet werden. Dazu werden 100 der verändert aufbereiteten Samenkörner der Qualität B zufällig ausgewählt und gesät. Bestimmen Sie die zugehörige Entscheidungsregel.

(5 BE)

Lösung zu Teilaufgabe e

 

Einseitiger Signifikanztest

 

Die Entscheidungsregel wird mithilfe eines Signifikanztests ermittelt. Ein Signifikanztest gibt der Wahrscheinlichkeit für den Fehler 1. Art (Nullhypothese wird irrtümlich abgelehnt) eine Obergrenze vor (Signifikanzniveau). Unter dieser Bedingung können die Grenzen, die den Annahmebereich vom Ablehnungsbereich der Nullhypothese trennen, mithilfe des Stochastischen Tafelwerks bestimmt werden.

Einseitiger Signifikanztest

Einseitiger Signifikanztest zum Signifikanzniveau \(\boldsymbol{\alpha}\)

Ein einseitiger Signifikanztest zum Signifikanzniveau \(\alpha\) überprüft eine Vermutung, dass eine Wahrscheinlichkeit \(p\) größer bzw. kleiner als eine bestimmte Wahrscheinlichkeit \(p_{0}\) ist. Dabei darf die Wahrscheinlichkeit für den Fehler 1. Art höchstens den Wert des Signifikanzniveaus \(\alpha\) erreichen.

Linksseitiger Signifikanztest

\[H_0 \colon p_0 \geq p \quad H_1 \colon p_1 < p\]

Ablehnungsbereich von \(H_0\):

\[\overline{A} = \{0; 1; ...; k\}\]

Bedingung für den Fehler 1. Art:

\[\begin{align*} P_{p_{0}}^{n}(\text{„Fehler 1. Art"}) &\leq \alpha \\[0.8em] P_{p_{0}}^{n}(X \in \overline{A}) &\leq \alpha \\[0.8em] P_{p_{0}}^{n}(X \leq k) &\leq \alpha \\[1.6em] \overset{\text{ST}}{\Longrightarrow} \enspace k \enspace \Longrightarrow \enspace A, \overline{A} \end{align*}\]

Rechtsseitiger Signifikanztest

\[H_0 \colon p_0 \leq p \quad H_1 \colon p_1 > p\]

Ablehnungsbereich von \(H_0\):

\[\overline{A} = \{k + 1; ...; n\}\]

Bedingung für den Fehler 1. Art:

\[\begin{align*} P_{p_{0}}^{n}(\text{„Fehler 1. Art"}) &\leq \alpha \\[0.8em] P_{p_{0}}^{n}(X \in \overline{A}) &\leq \alpha \\[0.8em] P_{p_{0}}^{n}(X \geq k +1) &\leq \alpha \\[0.8em] 1 - P_{p_{0}}^{n}(X \leq k) &\leq \alpha & &| - 1 \\[0.8em] - P_{p_{0}}^{n}(X \leq k) &\leq \alpha - 1 &&| \textcolor{red}{\cdot (-1)} \\[0.8em] P_{p_{0}}^{n}(X \leq k) &\textcolor{red}{\geq} 1 - \alpha \\[1.6em] \overset{\text{ST}}{\Longrightarrow} \enspace k \enspace \Longrightarrow \enspace A, \overline{A} \end{align*}\]

ST: Stochastisches Tafelwerk

Anmerkung:

Für die Bearbeitung einer Aufgabe zum Thema Signifikanztest ist die Unterscheidung nach linksseitigem und rechtsseitigem Signifikanztest nicht erforderlich. Entscheidend ist die Bedeutung der Testgröße \(X\) (Zufallsgröße) sowie die Festlegung der Nullhypothese und des Ablehnungsbereichs der Nullhypothese. Wie die Nullhypothese lautet, ergibt sich aus der Aufgabenstellung. Die Art der Nullhypothese lässt auf den Ablehnungsbereich der Nullhypothese schließen.

 

Analyse der Angabe:

 

„Die Wahrscheinlichkeit für das Keimen eines Samenkorns der Qualität B ist höchstens 70 %."

\(\Longrightarrow \quad H_{0} \colon p \leq 0{,}7\) (Nullhypothese)

 

„... auf einem Signifikanzniveau von 5 % getestet werden."

\(\Longrightarrow \quad \alpha = 0{,}05\)

 

„Dazu werden 100 ... Samenkörner ... zufällig ausgewählt und gesät."

\(\Longrightarrow \quad n = 100\) (Stichprobenumfang)

 

Zufallsgröße \(X\) (Testgröße) beschreiben:

Bei einem Stichprobenumfang von 100 zufällig ausgewählten und gesäten Samenkörnern der Qualität B wird auf das Ereignis „Samenkorn keimt" geachtet. Die Wahrscheinlichkeit für dieses Ereignis ist gemäß der Nullhypothese mit \(p_{0}\) konstant.

Zufallsgröße \(X\): Anzahl der Samenkörner der Qualität B, die nach der Aussaat keimen.

Die Zufallsgröße \(X\) ist nach \(B(100;p_{0})\) binomialverteilt.

 

Nullhypothese (und Gegenhypothese) festlegen:

Die Aufgabenstellung gibt die Nullhypothese vor (vgl. Analyse der Angabe). Die Gegenhypothese ergibt sich daraus.

 

\[H_{0} \colon p \leq 0{,}7 \qquad H_{1} \colon p > 0{,}7\]

 

(Annahme und) Ablehnungsbereich der Nullhypothese formulieren:

Der Annahme- und Ablehnungsbereich der Nullhypothese lässt sich durch die Vergabe zunächst noch unbekannter Grenzen \(k\) und \(k + 1\) vorformulieren. Zusammen bilden beide Bereiche alle Werte \(x_{i} \in \{0,1, \dots, 100\}\) ab, welche die Zufallsgröße \(X\) annehmen kann.

Die Nullhypothese „Die Wahrscheinlichkeit für das Keimen eines Samenkorns der Qualität B ist höchstens 70 %." \((H_{0} \colon p \leq 0{,}7)\) wird abgelehnt, wenn unter den 100 ausgesäten Samenkörnern tendenziell viele Samenkörner sind, die keimen (\(k + 1\) bis \(100\) Samenkörner).

 

\[A = \{0, 1, \dots, k\} \qquad \overline{A} = \{k + 1, \dots, 100\}\]

 

Signifikanztest formulieren, das heißt, Bedingung für den Fehler 1. Art formulieren:

Anmerkung:

Da der Ablehnungsbereich \(\overline{A} = \{k + 1, \dots, 100\}\) rechts vom Erwartungswert \(\mu = 70\) der nach \(B(100;0{,}7)\) binomialverteilten Zufallsgröße \(X\) liegt, handelt es sich um einen rechtsseitigen Signifikanztest.

Einseitiger Signifikanztest

Einseitiger Signifikanztest zum Signifikanzniveau \(\boldsymbol{\alpha}\)

Ein einseitiger Signifikanztest zum Signifikanzniveau \(\alpha\) überprüft eine Vermutung, dass eine Wahrscheinlichkeit \(p\) größer bzw. kleiner als eine bestimmte Wahrscheinlichkeit \(p_{0}\) ist. Dabei darf die Wahrscheinlichkeit für den Fehler 1. Art höchstens den Wert des Signifikanzniveaus \(\alpha\) erreichen.

Linksseitiger Signifikanztest

\[H_0 \colon p_0 \geq p \quad H_1 \colon p_1 < p\]

Ablehnungsbereich von \(H_0\):

\[\overline{A} = \{0; 1; ...; k\}\]

Bedingung für den Fehler 1. Art:

\[\begin{align*} P_{p_{0}}^{n}(\text{„Fehler 1. Art"}) &\leq \alpha \\[0.8em] P_{p_{0}}^{n}(X \in \overline{A}) &\leq \alpha \\[0.8em] P_{p_{0}}^{n}(X \leq k) &\leq \alpha \\[1.6em] \overset{\text{ST}}{\Longrightarrow} \enspace k \enspace \Longrightarrow \enspace A, \overline{A} \end{align*}\]

Rechtsseitiger Signifikanztest

\[H_0 \colon p_0 \leq p \quad H_1 \colon p_1 > p\]

Ablehnungsbereich von \(H_0\):

\[\overline{A} = \{k + 1; ...; n\}\]

Bedingung für den Fehler 1. Art:

\[\begin{align*} P_{p_{0}}^{n}(\text{„Fehler 1. Art"}) &\leq \alpha \\[0.8em] P_{p_{0}}^{n}(X \in \overline{A}) &\leq \alpha \\[0.8em] P_{p_{0}}^{n}(X \geq k +1) &\leq \alpha \\[0.8em] 1 - P_{p_{0}}^{n}(X \leq k) &\leq \alpha & &| - 1 \\[0.8em] - P_{p_{0}}^{n}(X \leq k) &\leq \alpha - 1 &&| \textcolor{red}{\cdot (-1)} \\[0.8em] P_{p_{0}}^{n}(X \leq k) &\textcolor{red}{\geq} 1 - \alpha \\[1.6em] \overset{\text{ST}}{\Longrightarrow} \enspace k \enspace \Longrightarrow \enspace A, \overline{A} \end{align*}\]

ST: Stochastisches Tafelwerk

Fehler 1. Art: Die Nullhypothese \(H_{0} \colon p \leq 0{,}7\) wird irrtümlich abgelehnt.

Fehler 1. Art / Fehler 2. Art

Da die Entscheidung über die Annahme oder Ablehnung einer Nullhypothese aufgrund eines zufälligen Ergebnisses einer Stichprobe erfolgt, kann es zu Fehlentscheidungen kommen.

Fehler 1. Art und Fehler 2. Art

Fehler 1. Art: Die Nullhypothese \(H_{0}\) wird irrtümlich abgelehnt.

Fehler 2. Art: Die Nullhypothese \(H_{0}\) wird irrtümlich angenommen bzw. nicht abgelehnt.

(vgl. Merkhilfe)

  \(H_{0}\) ist wahr \(H_{0}\) ist falsch
\(H_{0}\) wird abgelehnt Fehler 1. Art Richtige Entscheidung
\(H_{0}\) wird angenommen Richtige Entscheidung Fehler 2. Art

Wahrscheinlichkeit \(\boldsymbol{\alpha'}\) für den Fehler 1. Art

\[\alpha' = P_{H_0} (X \in \overline{A}) = P^{n}_{p_0} (X \in \overline{A})\]

Wahrscheinlichkeit \(\boldsymbol{\beta'}\) für den Fehler 2. Art

\[\beta' = P_{H_{1}} (X \in A) = P^n_{p_{1}} (X \in A)\]

Wobei \(A\) der Annahmebereich und \(\overline{A}\) der Ablehnungsbereich der Nullhypothese \(H_0\) ist. \(H_{1}\) bezeichnet die Gegenhypothese.

Im Falle der Nullhypothese \(H_{0} \colon p \leq 0{,}7\) genügt es, den „Extremfall" \(p_{0} = 0{,}7\) zu betrachten (vgl. Anmerkung).

Die Nullhypothese \(H_{0}\) wird irrtümlich abgelehnt, wenn die Zufallsgröße \(X\) Werte aus dem Ablehnungsbereich \(\overline{A} = \{k + 1, \dots, 100\}\) der Nullhypothese annimmt und das betrachtete Ereignis „Samenkorn keimt" mit der Wahrscheinlichkeit \(p_{0} = 0{,}7\) eintritt, das heißt, obwohl die Nullhypothese zutrifft.

 

Anmerkung:

Bei einem Signifikanztest betrachtet man im Falle einer Nullhypothese \(H_{0} \colon p \leq p_{0}\) oder \(H_{0} \colon p \geq p_{0}\) den „Extremfall" \(p = p_{0}\), um den Annahme- und Ablehnungsbereich der Nullhypothese zu bestimmen. Damit ist gewährleistet, dass die Wahrscheinlichkeit für den Fehler 1. Art auch für \(p < p_{0}\) bzw. \(p > p_{0}\) nicht das Signifikanzniveau \(\alpha\) überschreitet.

  

\[H_{0} \colon p \leq 0{,}7 \quad \Longrightarrow \quad p_{0} = 0{,}7\]

Die Zufallsgröße \(X\) ist nach \(B(100;0{,}7)\) binomialverteilt.

\[\overline{A} = \{k + 1, \dots, 100\}\]

\[\alpha = 0{,}05\]

 

\[\begin{align*}P_{p_{0}}^{n}(\text{Fehler 1. Art}) &\leq \alpha \\[0.8em] P_{p_{0}}^{n}(X \in \overline{A}) &\leq \alpha & &| \; \overline{A} = \{k + 1, \dots, 100\} \\[0.8em] P_{0{,}7}^{100}(X \geq k + 1) &\leq 0{,}05 & &| \; \text{Gegenereignis betrachten} \\[0.8em] 1 - P_{0{,}7}^{100}(X \leq k) &\leq 0{,}05 & &| - 1 \\[0.8em] -P_{0{,}7}^{100}(X \leq k) &\leq -0{,}95 & &| \cdot (-1) \; \text{Relationszeichen dreht!} \\[0.8em] P_{0{,}7}^{100}(X \leq k) &\geq 0{,}95 \\[0.8em] \sum \limits_{i\,=\, 0}^{k}B(100;0{,}7;i) &\geq 0{,}95 \end{align*}\]

 

Stochastisches Tafelwerk (ST) verwenden:

Kumulative Verteilungsfunktion einer binomialverteilten Zufallsgröße

Kumulative Verteilungsfunktion einer nach \(B(n, p)\) binomialverteilten Zufallsgröße \(X\)

\[F^n_p (k) = P^n_p (X \leq k) = \sum_{i \, = \, 0}^k B(n; p; i) = \sum_{i \, = \, 0}^k \binom{n}{i} \cdot p^i \cdot (1 - p)^{n - i}\]

Wobei \(n\) die Länge der Bernoullikette, \(p\) die Trefferwahrscheinlichkeit für das Eintreten des betrachteten Ereignisses und \(k \in \{0,1,\dots,n\}\) die Anzahl der Treffer ist.

Das Stochastische Tafelwerk (ST) listet die Werte der Kumulativen Verteilungsfunktion jeweils in der rechten Spalte einer betrachteten Tabelle der Parameter \(n\) und \(p\). 

Für den Parameter \(p = 0{,}7\) sucht man in der rechten Spalte (kumulative Verteilungsfunktion) der Tabelle \(n = 100\) denjenigen Wert \(\sum \limits_{i\,=\,0}^{k}B(100;0{,}7;i)\), der mindestens \(0{,}95\) beträgt und notiert den zugehörigen Wert \(k\).

 

\[\overset{\text{ST}}{\Longrightarrow} \quad k = 77 \quad \left(\sum \limits_{i\,=\,0}^{77}B(100;0{,}7;i) \overset{\text{ST}}{=} 0{,}95213 \right)\]

 

Entscheidungsregel formulieren:

Mit \(k = 77\) und \(k + 1 = 78\) kann der Annahme- und der Ablehnungsbereich der Nullhypothese \(H_{0}\) konkretisiert werden.

 

\[A = \{0, 1, 2, \dots, 77\} \qquad \overline{A} = \{78, \dots, 100\}\]

 

Die Nullhypothese „Die Wahrscheinlichkeit für das Keimen eines Samenkorns der Qualität B ist höchstens 70 %." wird abgelehnt, wenn unter den 100 zufällig ausgewählten und gesäten Samenkörnern der Qualität B mindestens 78 Samenkörner keimen.

 

Rechtsseitiger Signifikanztest der Nullhypothese H₀: p ≤ 0,7 zum Signifikanzniveau α = 5 % bei einem Stichprobenumfang von n = 100

Rechtsseitiger Signifikanztest der Nullhypothese \(H_{0} \colon p \leq 0{,}7\) zum Signifikanzniveau \(\alpha = 5\,\%\) bei einem Stichptobenumfang von \(n = 100\)

2.3.1 Lagebeziehung von Geraden

2.3.1 Lagebeziehung von Geraden
2.3.1 Lagebeziehung von Geraden