Abiturlösungen Mathematik Bayern 2012

Aufgaben mit ausführlichen Lösungen

Geben Sie den Term einer in \(\mathbb R\) definierten Funktion \(f\) an, sodass die in \(\mathbb R\) definierte Integralfunktion \(\displaystyle F \colon x \mapsto \int_{-1}^x f(t)\,dt\) genau zwei Nullstellen besitzt. Geben Sie die Nullstellen von \(F\) an.

(3 BE)

Lösung zu Teilaufgabe 4b

 

\[F(x) = \int_{-1}^x f(t)\,dt\,; \quad D_F = \mathbb R\]

 

1. Nullstelle von \(F\)

Nullstelle einer Integralfunktion

Nullstelle einer Integralfunktion

Jede Integralfunktion \(\displaystyle I_{a} \colon x \mapsto \int_{a}^{x} f(t)\, dt\) besitzt an der unteren Integrationsgrenze \(x = a\) eine Nullstelle.

\[I_{a}(a) = \int_{a}^{a} f(t) \, dt = F(a) - F(a) = 0\]

\(F\) ist eine Stammfunktion von \(f\).

Die Integralfunktion \(\displaystyle F(x) = \int_{-1}^x f(t)\,dt\) hat unabhängig vom Term der Intgrandenfunktion \(f\) eine Nullstelle an der unteren Integrationsgrenze.

 

\[F(-1) = \int_{-1}^{-1} f(t)\,dt = 0\]

 

2. Nullstelle von \(F\)

 

Die Integralfunktion \(F\) einer zum Ursprung punktsymmetrische Integrandenfunktion \(f\), hat an der Stelle \(x = 1\) eine zweite Nullstelle. Wegen der Punktsymmetrie \(f(-t) = -f(t)\) verläuft der Graph von \(f\) in den Teilintervallen \([-1;0[\) und \(]0;1]\) einmal unterhalb und einmal oberhalb der \(x\)-Achse. Die Flächeninhalte der Flächenstücke, die \(G_f\) in den Teilintervallen \([-1;0[\) und \(]0;1]\) mit der \(x\)-Achse einschließt, sind dem Betrag nach gleich groß, gehen in die Berechnung der Flächenbilanz \(\displaystyle \int_{-1}^1 f(t)\,dt\) aber mit unterschiedlichem Vorzeichen ein. Somit ist die Flächenbilanz gleich Null.

Symmetrieverhalten (bzgl. des Koordinatensystems)

Symmetrieverhalten von Funktionsgraphen bzgl. des Koordinatensystems

\(f(-x) = f(x) \hspace{32px} \Longrightarrow \quad G_f\) ist achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse

\(f(-x) = -f(x) \hspace{20px} \Longrightarrow \quad G_f\) ist punktsymmetrisch zum Ursprung

\[F(1) = \int_{-1}^1 f(t)\,dt = \int_{-1}^0 f(t)\,dt + \int_0^1 f(t)\,dt = 0\]

wobei gilt: \(\,f(-t) = -f(t)\,\) (Punktsymmetrie)

 

Da die Intergalfunktion genau zwei Nullstellen besitzen soll, wählt man sicherheitshalber eine punktsymmetrische Integrandenfunktion\(f\), welche in \(\mathbb R\) monoton steigt (fällt) bzw. für \(x > 1\) keine Nullstellen mit Vorzeichenwechsel besitzt (siehe Anmerkung).

 

Beispiel A

 

\[f(t) = t\,; \quad D_f = \mathbb R\]

 

Punktsymmetrie von \(f\):

Symmetrieverhalten (bzgl. des Koordinatensystems)

Symmetrieverhalten von Funktionsgraphen bzgl. des Koordinatensystems

\(f(-x) = f(x) \hspace{32px} \Longrightarrow \quad G_f\) ist achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse

\(f(-x) = -f(x) \hspace{20px} \Longrightarrow \quad G_f\) ist punktsymmetrisch zum Ursprung

\[f(-t) = -t = -f(t)\]

 

2. Nullstelle von \(F\):

Stammfunktion einer Potenzfunktion

Stammfunktion einer Potenzfunktion

\[f(x) = x^r \quad \Longrightarrow \quad F(x) = \frac{1}{r + 1} \cdot x^{r + 1} + C\]

\[r \neq -1\]

Berechnung / Eigenschaften bestimmter Integrale

Berechnung bestimmter Integrale

\[\int_{a}^{b} f(x)\,dx = [F(x)]_{a}^{b} = F(b) - F(a)\]

Dabei ist \(F\) eine beliebige Stammfunktion zu \(f\).

(vgl. Merkhilfe)

Eigenschaften des bestimmten Integrals - Integrationsregeln

Identische Integrationsgrenzen:

\[\int_{a}^{a} f(x)\,dx = 0\]

Faktorregel:

\(\displaystyle \int_{a}^{b} c \cdot f(x)\,dx = c \cdot \int_{a}^{b} f(x)\,dx\) mit \(c \in \mathbb R\)

Summenregel:

\[\int_{a}^{b} \left[f(x) \pm g(x) \right] dx = \int_{a}^{b}f(x)\,dx \pm \int_{a}^{b}g(x)\,dx\]

Vertauschungsregel:

\[\int_{a}^{b}f(x)\,dx = -\int_{b}^{a}f(x)\,dx\]

Zerlegung in Teilintervalle:

\(\displaystyle \int_{a}^{b}f(x)\,dx = \int_{a}^{c}f(x)\,dx + \int_{c}^{b}f(x)\,dx\) mit \(a \leq c \leq b\)

\[\begin{align*} F(1) &= \int_{-1}^1 t\,dt \\[0.8em] &= \left[ \frac{1}{2}t^2 \right]_{-1}^1 \\[0.8em] &= \frac{1}{2} \cdot 1^2 - \left( \frac{1}{2} \cdot (-1)^2 \right) \\[0.8em] &= \frac{1}{2} - \frac{1}{2} \\[0.8em] &= 0 \end{align*}\]

 

weitere Nullstellen:

Monotoniekriterium

Anwendung der Differetialrechnung:

Monotoniekriterium

\(f'(x) < 0\) im Intervall \( I \quad \Longrightarrow \quad G_{f}\) fällt streng monoton in \(I\)

\(f'(x) > 0\) im Intervall \( I \quad \Longrightarrow \quad G_{f}\) steigt streng monoton in \(I\)

(vgl. Merkhilfe)

Ableitung einer Potenzfunktion

Ableitung einer Potenzfunktion

\[f(x) = x^r \quad \Longrightarrow \quad f'(x) = rx^{r - 1} \quad (r \in \mathbb R)\]

(vgl. Merkhilfe)

\[f(t) = t \quad \Longrightarrow \quad f'(t) = 1 \quad \Longrightarrow \quad f'(t) > 0\]

 

Da \(G_f\) für \(x > 1\) streng monoton steigt, kann es keine weiteren Nullstellen von \(F\) geben.

 

\(\Longrightarrow \quad\) Genau zwei Nullstellen: \(\, x_1 = -1\,; \enspace x_2 = 1\)

 

Graph der Punktsymmetrische Integrandenfunktion f(t) = t, Flächenbilanz Integralfunktion F im Intervall [-1;1]

Die in \(\,\mathbb R\,\) definierte Integralfunktion \(\displaystyle \,F(x) = \int_{-1}^x f(t)\,dt\,\) der zum Ursprung punktsymmetrischen, in \(\,\mathbb R\,\) streng monoton steigenden Intergrandenfunktion \(\,f(t) = t\,\) hat die Nullstelle \(\,x = 1\,\). Die Flächenbilanz des bestimmten Integrals \(\displaystyle \int_{-1}^1 f(t)\,dt\,\) ist gleich Null.

 

Beispiel B

 

\[f(t) = t^3\,; \quad D_f = \mathbb R\]

 

Punktsymmetrie von \(f\,\):

Symmetrieverhalten (bzgl. des Koordinatensystems)

Symmetrieverhalten von Funktionsgraphen bzgl. des Koordinatensystems

\(f(-x) = f(x) \hspace{32px} \Longrightarrow \quad G_f\) ist achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse

\(f(-x) = -f(x) \hspace{20px} \Longrightarrow \quad G_f\) ist punktsymmetrisch zum Ursprung

\[f(-t) = (-t)^3 = -t^3 = -f(t)\]

 

2. Nullstelle von \(F\,\):

Stammfunktion einer Potenzfunktion

Stammfunktion einer Potenzfunktion

\[f(x) = x^r \quad \Longrightarrow \quad F(x) = \frac{1}{r + 1} \cdot x^{r + 1} + C\]

\[r \neq -1\]

Berechnung / Eigenschaften bestimmter Integrale

Berechnung bestimmter Integrale

\[\int_{a}^{b} f(x)\,dx = [F(x)]_{a}^{b} = F(b) - F(a)\]

Dabei ist \(F\) eine beliebige Stammfunktion zu \(f\).

(vgl. Merkhilfe)

Eigenschaften des bestimmten Integrals - Integrationsregeln

Identische Integrationsgrenzen:

\[\int_{a}^{a} f(x)\,dx = 0\]

Faktorregel:

\(\displaystyle \int_{a}^{b} c \cdot f(x)\,dx = c \cdot \int_{a}^{b} f(x)\,dx\) mit \(c \in \mathbb R\)

Summenregel:

\[\int_{a}^{b} \left[f(x) \pm g(x) \right] dx = \int_{a}^{b}f(x)\,dx \pm \int_{a}^{b}g(x)\,dx\]

Vertauschungsregel:

\[\int_{a}^{b}f(x)\,dx = -\int_{b}^{a}f(x)\,dx\]

Zerlegung in Teilintervalle:

\(\displaystyle \int_{a}^{b}f(x)\,dx = \int_{a}^{c}f(x)\,dx + \int_{c}^{b}f(x)\,dx\) mit \(a \leq c \leq b\)

\[\begin{align*} F(1) &= \int_{-1}^1 t^3\,dt \\[0.8em] &= \left[ \frac{1}{4}t^4 \right]_{-1}^1 \\[0.8em] &= \frac{1}{4} \cdot 1^4 - \left( \frac{1}{4} \cdot (-1)^4 \right) \\[0.8em] &= \frac{1}{4} - \frac{1}{4} \\[0.8em] &= 0 \end{align*}\]

 

weitere Nullstellen:

Monotoniekriterium

Anwendung der Differetialrechnung:

Monotoniekriterium

\(f'(x) < 0\) im Intervall \( I \quad \Longrightarrow \quad G_{f}\) fällt streng monoton in \(I\)

\(f'(x) > 0\) im Intervall \( I \quad \Longrightarrow \quad G_{f}\) steigt streng monoton in \(I\)

(vgl. Merkhilfe)

Ableitung einer Potenzfunktion

Ableitung einer Potenzfunktion

\[f(x) = x^r \quad \Longrightarrow \quad f'(x) = rx^{r - 1} \quad (r \in \mathbb R)\]

(vgl. Merkhilfe)

\[f(t) = t^3 \quad \Longrightarrow \quad f'(t) = 3t^2 \quad \Longrightarrow \quad f'(t) > 0\]

 

Da \(G_f\) für \(x > 1\) streng monoton steigt, kann es keine weiteren Nullstellen von \(F\) geben.

 

\(\Longrightarrow \quad\) Genau zwei Nullstellen: \(\, x_1 = -1\,; \enspace x_2 = 1\)

 

Graph der Punktsymmetrische Integrandenfunktion f(t) = t³, Flächenbilanz Integralfunktion F im Intervall [-1;1]

Die in \(\,\mathbb R\,\) definierte Integralfunktion \(\displaystyle F(x) = \int_{-1}^x f(t)\,dt\,\) der zum Ursprung punktsymmetrischen, in \(\,\mathbb R\,\) monoton steigenden Intergrandenfunktion \(\,f(t) = t^3\,\) hat die Nullstelle \(\,x = 1\,\). Die Flächenbilanz des bestimmten Integrals \(\displaystyle \int_{-1}^1 f(t)\,dt\,\) ist gleich Null.

 

Beispiel C

 

\[f(t) = t^3 - t\,; \quad D_f = \mathbb R\]

 

Punktsymmetrie von \(f\,\):

Symmetrieverhalten (bzgl. des Koordinatensystems)

Symmetrieverhalten von Funktionsgraphen bzgl. des Koordinatensystems

\(f(-x) = f(x) \hspace{32px} \Longrightarrow \quad G_f\) ist achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse

\(f(-x) = -f(x) \hspace{20px} \Longrightarrow \quad G_f\) ist punktsymmetrisch zum Ursprung

\[f(-t) = (-t)^3 - (-t) = -t^3 + t = -(t^3 - t) = -f(t)\]

 

2. Nullstelle von \(F\,\):

Stammfunktion einer Potenzfunktion

Stammfunktion einer Potenzfunktion

\[f(x) = x^r \quad \Longrightarrow \quad F(x) = \frac{1}{r + 1} \cdot x^{r + 1} + C\]

\[r \neq -1\]

Berechnung / Eigenschaften bestimmter Integrale

Berechnung bestimmter Integrale

\[\int_{a}^{b} f(x)\,dx = [F(x)]_{a}^{b} = F(b) - F(a)\]

Dabei ist \(F\) eine beliebige Stammfunktion zu \(f\).

(vgl. Merkhilfe)

Eigenschaften des bestimmten Integrals - Integrationsregeln

Identische Integrationsgrenzen:

\[\int_{a}^{a} f(x)\,dx = 0\]

Faktorregel:

\(\displaystyle \int_{a}^{b} c \cdot f(x)\,dx = c \cdot \int_{a}^{b} f(x)\,dx\) mit \(c \in \mathbb R\)

Summenregel:

\[\int_{a}^{b} \left[f(x) \pm g(x) \right] dx = \int_{a}^{b}f(x)\,dx \pm \int_{a}^{b}g(x)\,dx\]

Vertauschungsregel:

\[\int_{a}^{b}f(x)\,dx = -\int_{b}^{a}f(x)\,dx\]

Zerlegung in Teilintervalle:

\(\displaystyle \int_{a}^{b}f(x)\,dx = \int_{a}^{c}f(x)\,dx + \int_{c}^{b}f(x)\,dx\) mit \(a \leq c \leq b\)

\[\begin{align*} F(1) &= \int_{-1}^1 \big(t^3 - t\big)\,dt \\[0.8em] &= \left[ \frac{1}{4}t^4 - \frac{1}{2}t^2 \right]_{-1}^1 \\[0.8em] &= \frac{1}{4} \cdot 1^4 -\frac{1}{2} \cdot 1^2 - \left( \frac{1}{4} \cdot (-1)^4 - \frac{1}{2} \cdot (-1)^2 \right) \\[0.8em] &= -\frac{1}{4} + \frac{1}{4} \\[0.8em] &= 0 \end{align*}\]

 

weitere Nullstellen:

Monotoniekriterium

Anwendung der Differetialrechnung:

Monotoniekriterium

\(f'(x) < 0\) im Intervall \( I \quad \Longrightarrow \quad G_{f}\) fällt streng monoton in \(I\)

\(f'(x) > 0\) im Intervall \( I \quad \Longrightarrow \quad G_{f}\) steigt streng monoton in \(I\)

(vgl. Merkhilfe)

Ableitung einer Potenzfunktion

Ableitung einer Potenzfunktion

\[f(x) = x^r \quad \Longrightarrow \quad f'(x) = rx^{r - 1} \quad (r \in \mathbb R)\]

(vgl. Merkhilfe)

\(f(t) = t^3 - t \quad \Longrightarrow \quad f'(t) = 3t^2 - 1 \quad \Longrightarrow \quad f'(t) > 0\) für \(x > 1\)

 

Da \(G_f\) für \(x > 1\) streng monoton steigt, kann es keine weiteren Nullstellen von \(F\) geben.

 

\(\Longrightarrow \quad\) Genau zwei Nullstellen: \(\, x_1 = -1\,; \enspace x_2 = 1\)

 

Graph der punktsymmetrischen Integrandenfunktion f(t) = t³ - t, Flächenbilanz der Integralfunktion F im Intervall [-1;1]

Die in \(\,\mathbb R\,\) definierte Integralfunktion \(\displaystyle F(x) = \int_{-1}^x f(t)\,dt\,\) der zum Ursprung punktsymmetrischen, in \(\,\mathbb R\,\) monoton steigenden Intergrandenfunktion \(\,f(t) = t^3 - t\,\) hat die Nullstelle \(\,x = 1\,\). Die Flächenbilanz des bestimmten Integrals \(\displaystyle \int_{-1}^1 f(t)\,dt\,\) ist gleich Null.

 

Anmerkung

 

Folgende zwei Beispiele zeigen in \(\mathbb R\) definierte Integralfunktionen \(F\,\) von in \(\mathbb R\) definierten, punktsymmetrischen Integrandenfunktion \(f\), die mehr als zwei Nullstellen besitzen.

 

1. Beispiel: \(\,\displaystyle F(x) = \int_{-1}^x \sin(t)\,dt\)

 

Graph der Punktsymmetrische Integrandenfunktion f(t) = sin(t), Flächenbilanz der Integralfunktion F im Intervall [-1;2π + 1]

Aufgrund der Periodizität der Sinusfunktion, besitzt die in \(\,\mathbb R\,\) definierte Integralfunktion \(\displaystyle F(x) = \int_{-1}^x \sin(t)\,dt\,\) beliebig viele Nullstellen für \(x = 2k\pi + 1\,, \enspace k \in \mathbb Z\,\).

 

2. Beispiel: \(\displaystyle F(x) = \int_{-1}^x \big( t^5 - t^3 - t \big)\,dt\)

 

Graph der punktsymmetrischen Integrandenfunktion f(t) = t⁵ - t³ - t, Flächenbilanz der Integralfunktion F im Intervall [-1;1]

Die Integralfunktion \(\displaystyle F(x) = \int_{-1}^x \big( t^5 - t^3 - t \big)\,dt\,\) besitzt eine dritte Nullstelle für \(\,x \approx 1{,}46\,\). Die Flächenbilanz für \(\displaystyle \int_{-1}^1 \big( t^5 - t^3 - 1 \big)\,dt\,\) sowie die Flächenbilanz für \(\displaystyle \int_1^{1{,}46} \big( t^5 - t^3 - t \big)\,dt\,\) ist jeweils gleich Null. Somit ist die Flächenbilanz für \(\displaystyle \int_{-1}^{1{,}46} \big( t^5 - t^3 - t \big)\,dt\,\) ebenfalls gleich Null.

2.3.1 Lagebeziehung von Geraden

2.3.1 Lagebeziehung von Geraden
2.3.1 Lagebeziehung von Geraden