Geben Sie den Term einer in \(\mathbb R\) definierten Funktion \(f\) an, sodass die in \(\mathbb R\) definierte Integralfunktion \(\displaystyle F \colon x \mapsto \int_{-1}^x f(t)\,dt\) genau zwei Nullstellen besitzt. Geben Sie die Nullstellen von \(F\) an.

(3 BE)

Lösung zu Teilaufgabe 4b

 

\[F(x) = \int_{-1}^x f(t)\,dt\,; \quad D_F = \mathbb R\]

 

1. Nullstelle von \(F\)

Die Integralfunktion \(\displaystyle F(x) = \int_{-1}^x f(t)\,dt\) hat unabhängig vom Term der Intgrandenfunktion \(f\) eine Nullstelle an der unteren Integrationsgrenze.

 

\[F(-1) = \int_{-1}^{-1} f(t)\,dt = 0\]

 

2. Nullstelle von \(F\)

 

Die Integralfunktion \(F\) einer zum Ursprung punktsymmetrische Integrandenfunktion \(f\), hat an der Stelle \(x = 1\) eine zweite Nullstelle. Wegen der Punktsymmetrie \(f(-t) = -f(t)\) verläuft der Graph von \(f\) in den Teilintervallen \([-1;0[\) und \(]0;1]\) einmal unterhalb und einmal oberhalb der \(x\)-Achse. Die Flächeninhalte der Flächenstücke, die \(G_f\) in den Teilintervallen \([-1;0[\) und \(]0;1]\) mit der \(x\)-Achse einschließt, sind dem Betrag nach gleich groß, gehen in die Berechnung der Flächenbilanz \(\displaystyle \int_{-1}^1 f(t)\,dt\) aber mit unterschiedlichem Vorzeichen ein. Somit ist die Flächenbilanz gleich Null.

\[F(1) = \int_{-1}^1 f(t)\,dt = \int_{-1}^0 f(t)\,dt + \int_0^1 f(t)\,dt = 0\]

wobei gilt: \(\,f(-t) = -f(t)\,\) (Punktsymmetrie)

 

Da die Intergalfunktion genau zwei Nullstellen besitzen soll, wählt man sicherheitshalber eine punktsymmetrische Integrandenfunktion\(f\), welche in \(\mathbb R\) monoton steigt (fällt) bzw. für \(x > 1\) keine Nullstellen mit Vorzeichenwechsel besitzt (siehe Anmerkung).

 

Beispiel A

 

\[f(t) = t\,; \quad D_f = \mathbb R\]

 

Punktsymmetrie von \(f\):

\[f(-t) = -t = -f(t)\]

 

2. Nullstelle von \(F\):

\[\begin{align*} F(1) &= \int_{-1}^1 t\,dt \\[0.8em] &= \left[ \frac{1}{2}t^2 \right]_{-1}^1 \\[0.8em] &= \frac{1}{2} \cdot 1^2 - \left( \frac{1}{2} \cdot (-1)^2 \right) \\[0.8em] &= \frac{1}{2} - \frac{1}{2} \\[0.8em] &= 0 \end{align*}\]

 

weitere Nullstellen:

\[f(t) = t \quad \Longrightarrow \quad f'(t) = 1 \quad \Longrightarrow \quad f'(t) > 0\]

 

Da \(G_f\) für \(x > 1\) streng monoton steigt, kann es keine weiteren Nullstellen von \(F\) geben.

 

\(\Longrightarrow \quad\) Genau zwei Nullstellen: \(\, x_1 = -1\,; \enspace x_2 = 1\)

 

Die in \(\,\mathbb R\,\) definierte Integralfunktion \(\displaystyle \,F(x) = \int_{-1}^x f(t)\,dt\,\) der zum Ursprung punktsymmetrischen, in \(\,\mathbb R\,\) streng monoton steigenden Intergrandenfunktion \(\,f(t) = t\,\) hat die Nullstelle \(\,x = 1\,\). Die Flächenbilanz des bestimmten Integrals \(\displaystyle \int_{-1}^1 f(t)\,dt\,\) ist gleich Null.

 

Beispiel B

 

\[f(t) = t^3\,; \quad D_f = \mathbb R\]

 

Punktsymmetrie von \(f\,\):

\[f(-t) = (-t)^3 = -t^3 = -f(t)\]

 

2. Nullstelle von \(F\,\):

\[\begin{align*} F(1) &= \int_{-1}^1 t^3\,dt \\[0.8em] &= \left[ \frac{1}{4}t^4 \right]_{-1}^1 \\[0.8em] &= \frac{1}{4} \cdot 1^4 - \left( \frac{1}{4} \cdot (-1)^4 \right) \\[0.8em] &= \frac{1}{4} - \frac{1}{4} \\[0.8em] &= 0 \end{align*}\]

 

weitere Nullstellen:

\[f(t) = t^3 \quad \Longrightarrow \quad f'(t) = 3t^2 \quad \Longrightarrow \quad f'(t) > 0\]

 

Da \(G_f\) für \(x > 1\) streng monoton steigt, kann es keine weiteren Nullstellen von \(F\) geben.

 

\(\Longrightarrow \quad\) Genau zwei Nullstellen: \(\, x_1 = -1\,; \enspace x_2 = 1\)

 

Die in \(\,\mathbb R\,\) definierte Integralfunktion \(\displaystyle F(x) = \int_{-1}^x f(t)\,dt\,\) der zum Ursprung punktsymmetrischen, in \(\,\mathbb R\,\) monoton steigenden Intergrandenfunktion \(\,f(t) = t^3\,\) hat die Nullstelle \(\,x = 1\,\). Die Flächenbilanz des bestimmten Integrals \(\displaystyle \int_{-1}^1 f(t)\,dt\,\) ist gleich Null.

 

Beispiel C

 

\[f(t) = t^3 - t\,; \quad D_f = \mathbb R\]

 

Punktsymmetrie von \(f\,\):

\[f(-t) = (-t)^3 - (-t) = -t^3 + t = -(t^3 - t) = -f(t)\]

 

2. Nullstelle von \(F\,\):

\[\begin{align*} F(1) &= \int_{-1}^1 \big(t^3 - t\big)\,dt \\[0.8em] &= \left[ \frac{1}{4}t^4 - \frac{1}{2}t^2 \right]_{-1}^1 \\[0.8em] &= \frac{1}{4} \cdot 1^4 -\frac{1}{2} \cdot 1^2 - \left( \frac{1}{4} \cdot (-1)^4 - \frac{1}{2} \cdot (-1)^2 \right) \\[0.8em] &= -\frac{1}{4} + \frac{1}{4} \\[0.8em] &= 0 \end{align*}\]

 

weitere Nullstellen:

\(f(t) = t^3 - t \quad \Longrightarrow \quad f'(t) = 3t^2 - 1 \quad \Longrightarrow \quad f'(t) > 0\) für \(x > 1\)

 

Da \(G_f\) für \(x > 1\) streng monoton steigt, kann es keine weiteren Nullstellen von \(F\) geben.

 

\(\Longrightarrow \quad\) Genau zwei Nullstellen: \(\, x_1 = -1\,; \enspace x_2 = 1\)

 

Die in \(\,\mathbb R\,\) definierte Integralfunktion \(\displaystyle F(x) = \int_{-1}^x f(t)\,dt\,\) der zum Ursprung punktsymmetrischen, in \(\,\mathbb R\,\) monoton steigenden Intergrandenfunktion \(\,f(t) = t^3 - t\,\) hat die Nullstelle \(\,x = 1\,\). Die Flächenbilanz des bestimmten Integrals \(\displaystyle \int_{-1}^1 f(t)\,dt\,\) ist gleich Null.

 

Anmerkung

 

Folgende zwei Beispiele zeigen in \(\mathbb R\) definierte Integralfunktionen \(F\,\) von in \(\mathbb R\) definierten, punktsymmetrischen Integrandenfunktion \(f\), die mehr als zwei Nullstellen besitzen.

 

1. Beispiel: \(\,\displaystyle F(x) = \int_{-1}^x \sin(t)\,dt\)

 

Aufgrund der Periodizität der Sinusfunktion, besitzt die in \(\,\mathbb R\,\) definierte Integralfunktion \(\displaystyle F(x) = \int_{-1}^x \sin(t)\,dt\,\) beliebig viele Nullstellen für \(x = 2k\pi + 1\,, \enspace k \in \mathbb Z\,\).

 

2. Beispiel: \(\displaystyle F(x) = \int_{-1}^x \big( t^5 - t^3 - t \big)\,dt\)

 

Die Integralfunktion \(\displaystyle F(x) = \int_{-1}^x \big( t^5 - t^3 - t \big)\,dt\,\) besitzt eine dritte Nullstelle für \(\,x \approx 1{,}46\,\). Die Flächenbilanz für \(\displaystyle \int_{-1}^1 \big( t^5 - t^3 - 1 \big)\,dt\,\) sowie die Flächenbilanz für \(\displaystyle \int_1^{1{,}46} \big( t^5 - t^3 - t \big)\,dt\,\) ist jeweils gleich Null. Somit ist die Flächenbilanz für \(\displaystyle \int_{-1}^{1{,}46} \big( t^5 - t^3 - t \big)\,dt\,\) ebenfalls gleich Null.