Punktsymmetrie bezüglich des Koordinatenursprungs

  • Aufgabe 1

    Berechnen Sie folgende Integrale bzw. die Integrationsgrenze \(a\) mit \(a \in \mathbb N\). Geben Sie exakte Werte an.

    a) \(\displaystyle \int_{0}^{1} \frac{-6x^{2} + 6}{x^{3} - 3x + 3} dx\)

    b) \(\displaystyle \int_{-a}^{3a} (3t - 2) dt = 4\)

     

    c) \(\displaystyle \int_{1}^{\infty} \frac{3}{x^{2}} dx\)

    d) \(\displaystyle \int_{4}^{8} \left( e^{-2x} -\sin\left(\frac{\pi}{4}x\right) +\frac{2}{x-2} \right) dx\)

     

    Aufgabe 2

    Geben sie jeweils eine Integrandenfunktion \(f(x)\) und \(g(x)\) an, sodass die folgenden Gleichungen erfüllt sind.

    a) \(\displaystyle \int_{-a}^{+a} f(x) dx = 0; \; a \neq 0\)

    b) \(\displaystyle \int_{-1}^{3} g(x) dx = 8\)

     

    Aufgabe 3

    Gegeben sind die jeweils in \(\mathbb R\) definierten Funktionenscharen \(f_{a} \colon x \mapsto x(a^{2} - x^{2})\) und \(g_{a} \colon x \mapsto x(x - a)^{2}\) mit \(a \in \mathbb R^{+}\).

     

    a) Bestimmen Sie in Abhängigkeit des Parameters \(a\) den Flächeninhalt \(A(a)\) der Fläche, welche die Graphen der Funktionenscharen \(f\) und \(g\) begrenzen.

    b) Für welchen Wert des Parameters \(a\) ergibt sich der Flächeninhalt 13,5 FE (Flächeneinheiten)?

     

    Aufgabe 4

    Gegeben ist die in \(\mathbb R\) definierte Funktion \(f \colon x \mapsto \dfrac{1}{20}x^{5} + \dfrac{1}{12}x^{4} - \dfrac{1}{3}x^{3}\).

     

    Bestimmen Sie die Wendepunkte des Graphen \(G_{f}\) der Funktion \(f\) und geben Sie das Kümmungsverhalten von \(G_{f}\) an.

     

    Aufgabe 5

    Abbildung zu Klausur Q12/1 001 Aufgabe 5

    Die Abbildung zeigt den Graphen \(G_{f}\) einer in \(R\) definierten Funktion \(f\).

     

    a) Skizzieren Sie den Graphen \(G_{F}\) der Integralfunktion \(F \colon x \mapsto \displaystyle \int_{0}^{x} f(t) dt\) in die Abbildung. Gehen Sie dabei insbesondere auf die Nullstellen und die Extremstelle von \(G_{f}\) sowie auf das Verhalten von \(G_{f}\) für \(x \to \pm \infty\) ein. Erläutern Sie Ihre Vorgehensweise.

    b) „Jede Stammfunktion der abgebildeten Funktion \(f\) ist eine Integralfunktion." Nehmen Sie zu dieser Aussage begründend Stellung, indem Sie sich auf \(G_{F}\) beziehen.

  • Geben sie jeweils eine Integrandenfunktion \(f(x)\) und \(g(x)\) an, sodass die folgenden Gleichungen erfüllt sind.

    a) \(\displaystyle \int_{-a}^{+a} f(x) dx = 0; \; a \neq 0\)

    b) \(\displaystyle \int_{-1}^{3} g(x) dx = 8\)

  • Geben Sie einen möglichen Term der Funktion \(t\) an. Zeigen Sie für dieses \(t\) die Gültigkeit der Aussage aus Aufgabe 3a durch Integration mithilfe einer Stammfunktion.

    (4 BE)

  • Der Graph einer in \(\mathbb R\) definierten integrierbaren Funktion \(t\) ist punktsymmetrisch bezüglich des Koordinatenursprungs.

    Begründen Sie, dass für alle \(a \in \mathbb R\) gilt: \(\displaystyle \int_{-a}^{a} t(x)\,dx = 0\).

    (3 BE)

  • Gegeben ist die Funktion \(f\) mit \(\displaystyle f(x) = \frac{20x}{x^2 - 25}\) und maximalem Definitionsbereich \(D_f\). Die Abbildung zeigt einen Teil des Graphen \(G_f\) von \(f\).

    Abbildung zu Teilaufgabe 1a

    Zeigen Sie, dass \(D_f = \mathbb R \, \backslash \, \{-5;5\}\) gilt und dass \(G_f\) symmetrisch bezüglich des Koordinatenursprungs ist. Geben Sie die Nullstelle von \(f\) sowie die Gleichungen der drei Asymptoten von \(G_f\) an.

    (5 BE)

  • Skizzieren Sie in der Abbildung den darin fehlenden Teil von \(G_f\) unter Berücksichtigung der bisherigen Ergebnisse.

    (3 BE)

  • Zeigen Sie, dass der Graph der in \(\mathbb R\) definierten Funktion \(g \colon x \mapsto x^{2} \cdot \sin{x}\) punktsymmetrisch bezüglich des Koordinatenursprungs ist, und geben Sie den Wert des Integrals \(\displaystyle \int_{-\pi}^{\pi} x^{2} \cdot \sin{x}\, dx\) an.

    (3 BE)

  • Die Funktion \(g\) ist nicht konstant und es gilt \(\displaystyle \int_{0}^{2} g(x) dx = 0\).

    (2 BE)

  • \(G_{f}\) geht aus dem Graphen der in \(\mathbb R\) definierten Funktion \(g \colon x \mapsto \frac{1}{18} \cdot (x^{3} - 25x)\) durch Verschiebung in positive \(x\)-Richtung hervor. Ermitteln Sie, um wie viel der Graph von \(g\) dazu verschoben werden muss. Begründen Sie mithilfe der Funktion \(g\), dass der Graph von \(f\) symmetrisch bezüglich seines Wendepunkts ist.

    (4 BE)

  • Gegeben ist die in \(\mathbb R \backslash \{-2;2\}\) definierte Funktion \(f \colon x \mapsto \dfrac{6x}{x^{2} - 4}\). Der Graph von \(f\) wird mit \(G_{f}\) bezeichnet und ist symmetrisch bezüglich des Koordinatenursprungs.

    Geben Sie die Gleichungen aller senkrechter Asymptoten von \(G_{f}\) an. Begründen Sie, dass \(G_{f}\) die \(x\)-Achse als waagrechte Asymptote besitzt.

    (3 BE)

  • Die Punkte \(A(3|3{,}6)\) und \(B(8|0{,}8)\) liegen auf \(G_{f}\); zwischen diesen beiden Punkten verläuft \(G_{f}\) unterhalb der Strecke \([AB]\).

    Skizzieren Sie \(G_{f}\) im Bereich \(-10 \leq x \leq 10\) unter Verwendung der bisherigen Informationen in einem Koordinatensystem.

    (4 BE)

  • Geben Sie für \(a\), \(b\) und \(c\) alle Werte an, sodass sowohl \(D_{a,b,c}  = \mathbb R\) gilt als auch, dass der Graph von \(f_{a,b,c}\) symmetrisch bezüglich des Koordinatenursprungs, aber nicht identisch mit der \(x\)-Achse ist.

    (3 BE)

  • Gegeben ist die in \(\mathbb R\) definierte Funktion \(f\) mit \(f(x) = x \cdot e^{-\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{2}}\). Die Abbildung 1 zeigt den Graphen von \(f\) ohne das zugrunde liegende Koordinatensystem.

    Abbildung 1 Analysis 2 Prüfungsteil B Mathematik Abitur Bayern 2022Abb. 1

    Zeigen Sie anhand des Funktionsterms von \(f\), dass der Graph von \(f\) symmetrisch bezüglich des Koordinatenursprungs ist. Begründen Sie, dass \(f\) genau eine Nullstelle hat, und geben Sie den Grenzwert von \(f\) für \(x \to +\infty\) an.

    (4 BE) 

  • Geben Sie den Term einer in \(\mathbb R\) definierten Funktion \(f\) an, sodass die in \(\mathbb R\) definierte Integralfunktion \(\displaystyle F \colon x \mapsto \int_{-1}^x f(t)\,dt\) genau zwei Nullstellen besitzt. Geben Sie die Nullstellen von \(F\) an.

    (3 BE)

  • Gegeben ist die in \(\mathbb R\) definierte Funktion \(f \colon x \mapsto 2x \cdot e^{-0{,}5x^2}\). Abbildung 2 zeigt den Graphen \(G_f\) von \(f\).

    Abbildung 2Abb. 2

    Weisen Sie nach, dass \(G_f\) punktsymmetrisch bezüglich des Koordinatenursprungs ist, und machen Sie anhand des Funktionsterms von \(f\) plausibel, dass \(\lim \limits_{x \, \to \, + \infty} f(x) = 0\) gilt.

    (2 BE)

  • Gegeben sind die in \(\mathbb R\) definierten Funktionen \(g \colon x \mapsto e^{-x}\) und \(h \colon x \mapsto x^3\).

    Veranschaulichen Sie durch eine Skizze, dass die Graphen von \(g\) und \(h\) genau einen Schnittpunkt haben.

    (2 BE)

  • Abbildung 2 legt die Vermutung nahe, dass \(G_f\) bezüglich des Schnittpunkts \(P\,(-1|-1)\) seiner Asymptoten symmetrisch ist. Zum Nachweis dieser Symmetrie von \(G_f\) kann die Funktion \(g\) betrachtet werden, deren Graph aus \(G_f\) durch Verschiebung um 1 in positive \(x\)-Richtung und um 1 in positive \(y\)-Richtung hervorgeht.

    Bestimmen Sie einen Funktionsterm von \(g\). Weisen Sie anschließend die Punktsymmetrie von \(G_f\) nach, indem Sie zeigen, dass der Graph von \(g\) punktsymmetrisch bezüglich des Koordinatenursprungs ist.

    (Teilergebnis: \(\displaystyle g(x) = \frac{1}{2}x + \frac{8}{x}\))

    (6 BE)

  • Zeigen Sie, dass \(\displaystyle \int_0^4 f(x)\,dx = 2 + 8 \cdot \ln 5\) gilt.

    Bestimmen Sie nun ohne weitere Integration den Wert des Integrals \(\displaystyle \int_{-6}^{-2} f(x)\,dx\); veranschaulichen Sie Ihr Vorgehen durch geeignete Eintragungen in Abbildung 2.

    (8 BE)

  • Ermitteln Sie das Symmetrieverhalten des Graphen von \(f\) und geben Sie den Grenzwert von \(f\) für \(x \to +\infty\) an.

    (3 BE)