Abiturlösungen Mathematik Bayern 2012

Aufgaben mit ausführlichen Lösungen

Geben Sie jeweils den Term einer in \(\mathbb R\) definierten Funktion an, die die angegebene Eigenschaft besitzt.

Der Graph der Funktion \(f\) hat den Hochpunkt \((0|5)\,\).

(2 BE)

Lösung zu Teilaufgabe 2a

 

Betrachtung bekannter Grundtypen von Funktionen:

 

Potenzfunktion mit natürlichem geraden Exponenten

 

\[f(x) = ax^n + 5\,, \enspace D = \mathbb R\,, \enspace a < 0\,, \enspace n = 2k\,, \enspace k \in \mathbb N\]

 

Der Graph von \(f\) ist eine nach unten geöffnete Parabel n-ter Ordnung mit dem Scheitelpunkt \(S\,(0|5)\), welcher absoluter Hochpunkt von \(f\) ist.

 

Beispiele:

\[f_1(x) = -x^2 + 5\]

\[f_2(x) = -2x^4 + 5\]

 

Graphen der Potenzfunktionen f₁ und f₂

Graphen der Potenzfunktionen \(f_1\) und \(f_2\)

 

Allgemeine Kosinusfunktion

Allgemeine Kosinusfunktion

Allgemeine Kosinusfunktion

\[f(x) = a \cdot \cos(bx + c) + d = a \cdot \cos \left[b \left(x + \frac{c}{b} \right) \right] + d\]

\[a,b,c,d \in \mathbb R\;; \quad a,b \neq 0\;; \quad x \in \mathbb R\]

Streckung um \(a\) in \(y\)-Richtung

Streckung um \(\displaystyle \frac{1}{b}\) in \(x\)-Richtung, Periode: \(\displaystyle p = \frac{2\pi}{\vert b \vert}\)

Verschiebung um \(\displaystyle -\frac{c}{b}\) in \(x\)-Richtung

Verschiebung um \(d\) in \(y\)-Richtung

\[f(x) = a \cdot \cos (bx + c) + d\,, \enspace D = \mathbb R\,, \enspace a,b,c,d \in \mathbb R\,, \enspace a,b \neq 0\]

 

Die Parameter \(a\) und \(d\) bestimmen die \(y\)-Koordinate der Hochpunkte einer allgemeinen Kosinusfunktion. Es muss gelten: \(\,a + d = 5\,\).

Der Parameter \(b\) streckt bzw. staucht die Kosinusfunktion in \(x\)-Richtung. Er hat auf einen Hochpunkt an der Stelle \(x = 0\) keinen Einfluss.

Eine mögliche Verschiebung in \(x\)-Richtung um \(\displaystyle -\frac{c}{b}\) muss gleich einem ganzzahligen Vielfachen der Periodenlänge \(\displaystyle \frac{2\pi}{\vert b \vert}\) sein.

 

Beispiele:

\[f_3(x) = 5 \cdot \cos x\]

\[f_4(x) = 2 \cdot \cos (2x + 2\pi) + 3 = 2 \cdot \cos \left[2(x + \pi)\right] + 3\]

 

Graphen der Kosinusfunktionen f₃ und f₄

Graphen der Kosinusfunktionen \(f_3\) und \(f_4\)

2.5 Schnittwinkelberechnungen

2.5 Schnittwinkelberechnungen
2.5 Schnittwinkelberechnungen