Der Anteil der Linkshänder in der Bevölkerung Deutschlands beträgt ein Sechstel. Aus der Bevölkerung werden acht Personen zufällig ausgewählt. Zwei der folgenden Terme I bis VI beschreiben die Wahrscheinlichkeit dafür, dass genau fünf dieser Personen Linkshänder sind. Geben Sie diese beiden Terme an.

\[\textsf{I} \enspace \binom{8}{3} \cdot \left( \frac{5}{6} \right)^3 \cdot \left( \frac{1}{6} \right)\]

\[\textsf{II} \enspace \left( \frac{1}{6} \right)^5 \cdot \left( \frac{5}{6} \right)^3\]

\[\textsf{III} \enspace 1 - \binom{8}{3} \cdot \left( \frac{5}{6} \right)^3 \cdot \left( \frac{1}{6} \right)^5\]

\[\textsf{IV} \enspace \binom{8}{5} \cdot \left( \frac{5}{6} \right)^5 \cdot \left( \frac{1}{6} \right)^3\]

\[\textsf{V} \enspace \binom{8}{5} \cdot \left( \frac{1}{6} \right)^5 \cdot \left( \frac{5}{6} \right)^3\]

\[\textsf{VI} \enspace \binom{8}{5} \cdot \left( \frac{1}{6} \right)^3 \cdot \left( \frac{5}{6} \right)^5\]

(2 BE)

Lösung zu Teilaufgabe 1

 

Zufallsgröße \(X\colon\enspace\)„Anzahl der Linkshänder"

 

Analyse der Angabe:

 

„Der Anteil der Linkshänder in der Bevölkerung Deutschlands beträgt ein Sechstel."

\[\Longrightarrow \quad p = \frac{1}{6}\]

 

„Aus der Bevölkerung werden acht Personen zufällig ausgewählt."

\[\Longrightarrow \quad n = 8\]

 

„...beschreiben die Wahrscheinlichkeit dafür, dass genau fünf dieser Personen Linkshänder sind."

\[\Longrightarrow \quad X = 5\]

 

Die Zufallsgröße \(X\) ist nach \(B(8;\frac{1}{6})\) binomialverteilt.

Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit \(P_{\frac{1}{6}}^{8}(X = 5) = B(8;\frac{1}{6};5)\).

Binomialverteilte Zufallsgröße - Binomialverteilung

Binomialverteilte Zufallsgröße

Für eine Zufallsgröße \(X\), welche bei einer Bernoulli-Kette der Länge \(n\) die Anzahl der Treffer \(k \in \{0,1,\dots,n\}\) mit der Trefferwahrscheinlichkeit \(p\) angibt, gilt:

Binomialverteilung (vgl. Merkhilfe)

\[P_{p}^{n}(X = k) = B(n;p;k) = \binom{n}{k} \cdot p^{k} \cdot (1 - p)^{n - k} \quad (0 \leq k \leq n)\]

Eine Binomialverteilung ist durch die Parameter \(n\) und \(p\) eindeutig bestimmt und wird durch das Symbol \(B(n:p)\) gekennzeichnet. \(X\) heißt binomialverteilt nach \(B(n;p)\).

Voraussetzung für eine Binomialverteilung

Ein Zufallsexperiment, bei dem nur zwei sich gegenseitig ausschließende Ereignisse \(A\) und \(\overline{A}\) mit konstanten Wahrscheinlichkeiten eintreten können (Bernoulli-Experiment).

Anwenden der Formel von Bernoulli:

Formel von Bernoulli

Formel von Bernoulli

Wahrscheinlichkeit für genau \(k\) Treffer bei einer Bernoullikette der Länge \(n\) und der Trefferwahrscheinlichkeit \(p\) für das Eintreten eines betrachteten Ereignisses:

\[P(X = k) = B(n;p;k) = \binom{n}{k} \cdot p^k \cdot (1 - p)^{n - k}\]

\[k \in \{0,1,\dots,n\}\]

\[P_{\frac{1}{6}}^{8}(X = 5) = \binom{8}{5} \cdot \left( \frac{1}{6} \right)^5 \cdot \left[ 1 - \left( \frac{1}{6} \right) \right]^{8 - 5} = \binom{8}{5} \cdot \left( \frac{1}{6} \right)^5 \cdot \left( \frac{5}{6} \right)^3\]

 

\(\Longrightarrow \quad\) Term \(\sf{V}\)

 

Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass genau fünf der acht ausgewählten Personen Linkshänder sind, entspricht der Wahrscheinlichkeit dafür, dass genau drei der acht ausgewählten Personen keine Linkshänder, also Rechtshänder sind.

 

Zufallsgröße \(Y\colon\enspace\)„Anzahl der Rechtshänder"

 

\[n = 8; \quad Y = 3\]

 

Der Anteil der Rechtshänder in der Bevölkerung Deutschlands beträgt fünf Sechstel.

\[\Longrightarrow \quad p = \frac{5}{6}\]

 

Die Zufallsgröße \(Y\) ist nach \(B(8;\frac{5}{6})\) binomialverteilt.

Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit \(P_{\frac{5}{6}}^{8}(Y = 3) = B(8;\frac{5}{6};3)\).

Binomialverteilte Zufallsgröße - Binomialverteilung

Binomialverteilte Zufallsgröße

Für eine Zufallsgröße \(X\), welche bei einer Bernoulli-Kette der Länge \(n\) die Anzahl der Treffer \(k \in \{0,1,\dots,n\}\) mit der Trefferwahrscheinlichkeit \(p\) angibt, gilt:

Binomialverteilung (vgl. Merkhilfe)

\[P_{p}^{n}(X = k) = B(n;p;k) = \binom{n}{k} \cdot p^{k} \cdot (1 - p)^{n - k} \quad (0 \leq k \leq n)\]

Eine Binomialverteilung ist durch die Parameter \(n\) und \(p\) eindeutig bestimmt und wird durch das Symbol \(B(n:p)\) gekennzeichnet. \(X\) heißt binomialverteilt nach \(B(n;p)\).

Voraussetzung für eine Binomialverteilung

Ein Zufallsexperiment, bei dem nur zwei sich gegenseitig ausschließende Ereignisse \(A\) und \(\overline{A}\) mit konstanten Wahrscheinlichkeiten eintreten können (Bernoulli-Experiment).

Anwenden der Formel von Bernoulli:

Formel von Bernoulli

Formel von Bernoulli

Wahrscheinlichkeit für genau \(k\) Treffer bei einer Bernoullikette der Länge \(n\) und der Trefferwahrscheinlichkeit \(p\) für das Eintreten eines betrachteten Ereignisses:

\[P(X = k) = B(n;p;k) = \binom{n}{k} \cdot p^k \cdot (1 - p)^{n - k}\]

\[k \in \{0,1,\dots,n\}\]

\[P_{\frac{5}{6}}^{8}(Y = 3) = \binom{8}{3} \cdot \left( \frac{5}{6} \right)^3 \cdot \left[ 1 - \left( \frac{5}{6} \right) \right]^{8 - 3} = \binom{8}{3} \cdot \left( \frac{5}{6} \right)^3 \cdot \left( \frac{1}{6} \right)^5\]

 

\(\Longrightarrow \quad\) Term \(\sf{I}\)

 

Wahrscheinlichkeitsverteilung der nach B(8;¹/₆) binomialverteilten Zufallsgröße X und Wahrscheinlichkeitsverteilung der nach B(8;⁵/₆) binomialverteilten Zufallsgröße Y 

links: Wahrscheinlichkeit dafür, dass genau fünf der acht ausgewählten Personen Linkshänder sind.
(Term \(\sf{V}\))

 
rechts: Wahrscheinlichkeit dafür, dass genau drei der acht ausgewählten Personen Rechtshänder sind.
(Term \(\sf{I}\))