Klausuren Q11 / Q12 Mathematik Bayern

Aufgaben mit ausführlichen Lösungen

Beschreiben Sie unter Verwendung einer geeigneten Skizze, wie sich nachweisen lässt, dass eine Gerade orthogonal zu einer Ebene ist.

Orthogonale (senkrechte) Gerade g zu einer Ebene E

Eine Gerade \(g\) verläuft orthogonal (senkrecht) zu einer Ebene \(E\) \((g \perp E)\), wenn der Richtungsvektor \(\overrightarrow{u}\) der Gleichung der Geraden \(g\) und der Normalenvektor \(\overrightarrow{n}_{E}\) der Gleichung der Ebene \(E\) in Normalenform zueinander parallel sind. Die Vektoren \(\overrightarrow{u}\) und \(\overrightarrow{n}_{E}\) müssen somit linear abhängig sein und es muss gelten (vgl. Abiturskript - 2.3.4 Lotgeraden und orthogonale Ebenen, Seite 3 - Lotgerade zu einer Ebene ):

Lineare (Un-)Abhängigkeit von Vektoren

Lineare (Un-)Abhängigkeit von zwei Vektoren

Zwei Vektoren \(\overrightarrow{a}\) und \(\overrightarrow{b}\) sind

linear abhängig, wenn

\(\overrightarrow{a} \parallel \overrightarrow{b}\quad\) bzw. \(\quad\overrightarrow{a} = k \cdot \overrightarrow{b}\,; \enspace k \in \mathbb R \quad\) gilt.

linear unabhängig, wenn

\(\overrightarrow{a} \nparallel \overrightarrow{b}\quad\) bzw. \(\quad\overrightarrow{a} \neq k \cdot \overrightarrow{b}\,; \enspace k \in \mathbb R \quad\) gilt.

 

Lineare (Un-)Abhängigkeit von drei Vektoren

Drei Vektoren \(\overrightarrow{a}\), \(\overrightarrow{b}\) und \(\overrightarrow{c}\) sind

linear abhängig, wenn

sie in einer Ebene liegen bzw. wenn

die lineare Vektorgleichung \(\overrightarrow{c} = r \cdot \overrightarrow{a} + s \cdot \overrightarrow{b}\) eine eindeutige Lösung hat.

linear unabhängig, wenn

sie den Raum \(\mathbb R^{3}\) aufspannen bzw. wenn

die lineare Vektorgleichung \(\overrightarrow{c} = r \cdot \overrightarrow{a} + s \cdot \overrightarrow{b}\) keine Lösung hat.

Bei der Untersuchung der linearen (Un)Abhängigkeit dreier Vektoren spielt es keine Rolle, welche der drei Vektoren \(\overrightarrow{a}\), \(\overrightarrow{b}\) oder \(\overrightarrow{c}\) man als Linearkombination der beiden anderen Vektoren darzustellen versucht.

\[\overrightarrow{u} = k \cdot \overrightarrow{n}_{E}; \; k \in \mathbb R\]

bzw.

\[\overrightarrow{n}_{E} = k \cdot \overrightarrow{u}; \; k \in \mathbb R\]

 

Anmerkung: 

Liegt die Gleichung einer Ebene \(E\) in der Parameterform \(E \colon \overrightarrow{X} = \overrightarrow{A} + \lambda \cdot \overrightarrow{u} + \mu \cdot \overrightarrow{v}; \; \lambda, \mu \in \mathbb R\) vor (vgl. Abiturskript - 2.2.2 Ebenengleichung in Parameterform) und soll die Orthogonalität einer Geraden \(g \colon \overrightarrow{X} = \overrightarrow{P} + \sigma \cdot \overrightarrow{w}; \; \sigma \in \mathbb R\) zu dieser Ebene nachgewiesen werden, so müssen folgende Bedingungen erfüllt sein:

Skalarprodukt - Orthogonale Vektoren

Anwendung des Skalarprodukts:

Orthogonale (zueinander senkrechte) Vektoren (vgl. Merkhilfe)

\[\overrightarrow{a} \perp \overrightarrow{b} \quad \Longleftrightarrow \quad \overrightarrow{a} \circ \overrightarrow{b} \quad (\overrightarrow{a} \neq \overrightarrow{0}, \overrightarrow{b} \neq \overrightarrow{0})\]

\[\left. \begin{align*} &\overrightarrow{w} \circ \overrightarrow{u} = 0 \quad \Longleftrightarrow \quad \overrightarrow{w} \perp \overrightarrow{u} \\[0.8em] &\text{und} \\[0.8em] &\overrightarrow{w} \circ \overrightarrow{v} = 0 \quad \Longleftrightarrow \quad \overrightarrow{w} \perp \overrightarrow{v} \end{align*} \right\} \enspace \Rightarrow \enspace g \perp E\]

 

Es ist in diesem Fall also nachzuweisen, dass der Richtungsvektor \(\overrightarrow{w}\) der Gleichung der Geraden \(g\) zu beiden Richtungsvektoren \(\overrightarrow{u}\) und \(\overrightarrow{v}\) der Ebenengleichung in Parameterform senkrecht ist.

2.3.2 Lagebeziehung von Gerade und Ebene

2.3.2 Lagebeziehung von Gerade und ...
2.3.2 Lagebeziehung von Gerade und Ebene