Zeigen Sie, dass \(G_{f}\) im Punkt \(W(5|0)\) einen Wendepunkt besitzt, und ermitteln Sie eine Gleichung der Tangente an \(G_{f}\) im Punkt \(W\).
(6 BE)
Lösung zu Teilaufgabe 1b
!!! Derzeit in Bearbeitung !!!
Nachweis, dass \(G_{f}\) im Punkt \(W(5|0)\) einen Wendepunkt besitzt
Die notwendige Bedingung für einen Wendepunkt von \(G_{f}\) lautet:
Anwendung der Differetialrechnung:
Wendepunkt
Ist \(f''(x_0) = 0\) und wechselt \(f''\) an der Stelle \(x_0\) das Vorzeichen, so hat \(G_f\) an der Stelle \(x_0\) einen Wendepunkt.
(vgl. Merkhilfe)
Alternative:
Es muss \(f''(x_{0}) = 0\) und \(f'''(x_{0}) \neq 0\) gelten.
\[f''(x) = 0\]
Zweite Ableitung \(f''\) bilden:
Hierfür wird der Funktionsterm \(f(x)\) zweimal mithilfe der Ableitung einer Potenzfunktion sowie der Summen- und der Faktorregel abgeleitet.
\[f(x) = \frac{1}{18} \cdot (x^{3} - 15x^{2} + 50x)\]
Ableitungen der Grundfunktionen
\[c' = 0 \enspace (c \in \mathbb R)\]
\[\left( x^r \right)' = r \cdot x^{r - 1} \enspace (r \in \mathbb R)\]
\[\left( \sqrt{x} \right)' = \frac{1}{2\sqrt{x}}\]
\[\left( \sin{x} \right)' = \cos{x}\]
\[\left( \cos{x} \right)' = -\sin{x}\]
\[\left( \ln{x} \right)' = \frac{1}{x}\]
\[\left( \log_{a}{x}\right)' = \frac{1}{x \cdot \ln{a}}\]
\[\left( e^x \right)' = e^x\]
\[\left(a^x \right)' = a^x \cdot \ln{a}\]
vgl. Merkhilfe
Faktorregel
\[\begin{align*}f(x) &= a \cdot \textcolor{#0087c1}{u(x)} \\[0.8em] f'(x) &= a \cdot \textcolor{#0087c1}{u'(x)}\end{align*}\]
Summenregel
\[\begin{align*}f(x) &= \textcolor{#0087c1}{u(x)} + \textcolor{#cc071e}{v(x)} \\[0.8em] f'(x) &= \textcolor{#0087c1}{u'(x)} + \textcolor{#cc071e}{v'(x)}\end{align*}\]
Produktregel
\[\begin{align*}f(x) &= \textcolor{#0087c1}{u(x)} \cdot \textcolor{#cc071e}{v(x)} \\[0.8em] f'(x) &= \textcolor{#0087c1}{u'(x)} \cdot \textcolor{#cc071e}{v(x)} + \textcolor{#0087c1}{u(x)} \cdot \textcolor{#cc071e}{v'(x)}\end{align*}\]
Quotientenregel
\[\begin{align*}f(x) &= \dfrac{\textcolor{#0087c1}{u(x)}}{\textcolor{#cc071e}{v(x)}} \\[0.8em] f'(x) &= \dfrac{\textcolor{#0087c1}{u'(x)} \cdot \textcolor{#cc071e}{v(x)} - \textcolor{#0087c1}{u(x)} \cdot \textcolor{#cc071e}{v'(x)}}{[\textcolor{#cc071e}{v(x)}]^{2}}\end{align*}\]
Kettenregel
\[\begin{align*}f(x) &= \textcolor{#0087c1}{u(}\textcolor{#cc071e}{v(x)}\textcolor{#0087c1}{)} \\[0.8em] f'(x) &= \textcolor{#0087c1}{u'(}\textcolor{#cc071e}{v(x)}\textcolor{#0087c1}{)} \cdot \textcolor{#cc071e}{v'(x)}\end{align*}\]
vgl. Merkhilfe
\[\begin{align*}f'(x) &= \frac{1}{18} \cdot (3x^{2} - 15 \cdot 2x + 50) \\[0.8em] &= \frac{1}{18} \cdot (3x^{2} - 30x + 50) \end{align*}\]
\[f''(x) = \frac{1}{18} \cdot (3 \cdot 2x - 30) = \frac{1}{18} \cdot (6x - 30)\]
Nullstelle von \(f''(x)\) bestimmen:
\[\begin{align*}f''(x) &= 0 \\[0.8em] \frac{1}{18} \cdot (6x - 30) &= 0 &&| : \frac{1}{18} \\[0.8em] 6x - 30 &= 0 &&| + 30 \\[0.8em] 6x &= 30 &&| : 6 \\[0.8em] x &= 5 \end{align*}\]
\(x = 5\) ist einzige mögliche Wendestelle von \(G_{f}\). Nun ist noch nachzuweisen, dass \(x = 5\) tatsächlich eine Wendestelle ist.
1. Möglichkeit: Nachweis mithilfe der dritten Ableitung \(f'''\)
Diese Möglichkeit bietet sich an, da \(f'''\) einfach zu bilden ist.
Anwendung der Differetialrechnung:
Wendepunkt
Ist \(f''(x_0) = 0\) und wechselt \(f''\) an der Stelle \(x_0\) das Vorzeichen, so hat \(G_f\) an der Stelle \(x_0\) einen Wendepunkt.
(vgl. Merkhilfe)
Alternative:
Es muss \(f''(x_{0}) = 0\) und \(f'''(x_{0}) \neq 0\) gelten.
\[f''(x) = \frac{1}{18} \cdot 6 = \frac{1}{3}\]
Für alle \(x \in \mathbb R\) gilt \(f'''(x) \neq 0\), also gilt auch \(f'''(5) \neq 0\) und \(G_{f}\) hat den Wendepunkt \(W(5|f(5))\).
Aus Teilaufgabe 1a ist die Nullstelle \(x = 5\) bekannt. Somit folgt: \(W(5|0)\).
2. Möglichkeit: Nachweis des Vorzeichenwechsels von \(f''\) an der Stelle \(x = 5\) (Krümmungstabelle)
Nach einer geeigneten Umformung von \(f''(x)\) lässt sich der Vorzeichenwechsel an der Stelle \(x = 5\) besser erkennen.
\[\begin{align*}f''(x) &= \frac{1}{18} \cdot (6x - 30) \\[0.8em] &= \frac{1}{18} \cdot 6 \cdot (x - 5) \\[0.8em] &= \frac{1}{3}(x - 5) \end{align*}\]
Anwendung der Differentialrechnung:
Krümmungsverhalten von Funktionsgraphen
\(f''(x) < 0\) im Intervall \(I \quad \Longrightarrow \quad G_f\) ist in \(I\) rechtsgekrümmt.
\(f''(x) > 0\) im Intervall \(I \quad \Longrightarrow \quad G_f\) ist in \(I\) linksgekrümmt.
(vgl. Merkhilfe)
| \(x\) | \(x < 5\) | \(5\) | \(x > 5\) |
| \(f''(x)\) | \(\textcolor{#cc071e}{\Large{-}}\) | \(0\) | \(\textcolor{#0087c1}{\Large{+}}\) |
| \(G_{f}\) | \(\Large \textcolor{#cc071e}{\curvearrowright}\) | \(W(5|0)\) | \(\style{display: inline-block; transform:rotate(0.5turn);}{\Large \textcolor{#0087c1}{\curvearrowleft}}\) |
Gleichung der Tangente an \(G_{f}\) im Punkt \(W\)
Der Ansatz der Gleichung der Wendetangente \(w\) kann mit der allgemeinen Geradengleichung erfolgen.
Allgemeine Geradengleichung
\[y = mx + t\]
Wobei \(m\) die Steigung und \(t\) der \(y\)-Achsenabschnitt der Geraden ist.
\[w \colon y = mx + t\]
Steigung der Wendetangente berechnen:
Die erste Ableitung \(f'\) beschreibt die Steigung einer Tangente an den Graphen von \(f\). Also beschreibt \(f'(5)\) die Steigung der Wendetangente \(w\) im Wendepunkt \(W(5|0)\).
Anwendung der Differetialrechnung:
Steigung \(m_{T}\) einer Tangente \(T\) an den Graphen einer Funktion \(f\) im Punkt \(P\,(\,x_0\,|\,f(x_0)\,)\)
\[m_{T} = f'(x_0)\]
(vgl. Merkhilfe)
\[f'(x) = \frac{1}{18} \cdot (3x^{2} - 30x + 50)\]
\[m = f'(5) = \frac{1}{18} \cdot (3 \cdot 5^{2} - 30 \cdot 5 + 50) = -\frac{25}{18}\]
\[\Longrightarrow \quad w \colon y = -\frac{25}{18}x + t\]
\(y\)-Achsenabschnitt \(t\) berechnen:
Hierfür werden die Koordinaten des Wendepunktes \(W(5|0)\) in die Gleichung der Wendetangente \(w\) eingesetzt und diese nach \(t\) aufgelöst.
\[\begin{align*} W(5|0) \in w \colon 0 &= -\frac{25}{18} \cdot 5 + t \\[0.8em] 0 &= -\frac{125}{18} + t &&| + \frac{125}{18} \\[0.8em] \frac{125}{18} &= t \end{align*}\]
\[\Longrightarrow \quad w \colon y = -\frac{25}{18}x + \frac{125}{18}\]
