Deuten Sie die Aussage \(F(2{,}5) - F(0) \approx 0\) in Bezug auf \(G_{f}\) geometrisch.

(2 BE)

Lösung zu Teilaufgabe 1f

 

Abbildung Aufgabe 1 Analysis 2 Prüfungsteil B Mathematik Abitur Bayern 2021

Die Aussage \(F(2{,}5) - F(0) \approx 0\) bedeutet, dass die Inhalte der beiden Flächen, die \(G_{f}\) im Intervall \([0;2{,}5]\) mit der \(x\)-Achse einschließt, etwa gleich groß sind.

 

Begründung (nicht verlangt)

Flächen, die der Graph der Funktion f im Intervall [0;2,5] mit der x-Achse einschließt

Berechnung / Eigenschaften bestimmter Integrale

Berechnung bestimmter Integrale

\[\int_{a}^{b} f(x)\,dx = [F(x)]_{a}^{b} = F(b) - F(a)\]

Dabei ist \(F\) eine beliebige Stammfunktion zu \(f\).

(vgl. Merkhilfe)

Eigenschaften des bestimmten Integrals - Integrationsregeln

Identische Integrationsgrenzen:

\[\int_{a}^{a} f(x)\,dx = 0\]

Faktorregel:

\(\displaystyle \int_{a}^{b} c \cdot f(x)\,dx = c \cdot \int_{a}^{b} f(x)\,dx\) mit \(c \in \mathbb R\)

Summenregel:

\[\int_{a}^{b} \left[f(x) \pm g(x) \right] dx = \int_{a}^{b}f(x)\,dx \pm \int_{a}^{b}g(x)\,dx\]

Vertauschungsregel:

\[\int_{a}^{b}f(x)\,dx = -\int_{b}^{a}f(x)\,dx\]

Zerlegung in Teilintervalle:

\(\displaystyle \int_{a}^{b}f(x)\,dx = \int_{a}^{c}f(x)\,dx + \int_{c}^{b}f(x)\,dx\) mit \(a \leq c \leq b\)

\[F(2{,}5) - F(0) = \int_{0}^{2{,}5}f(x)dx \approx 0\]

 

Der Wert des bestimmten Integrals \(\displaystyle \int_{0}^{2{,}5}f(x)dx\) entspricht der Flächenbilanz der Inhalte der Flächen, die \(G_{f}\) im Intervall \([0;2{,}5]\) mit der \(x\)-Achse einschließt.

Dabei trägt der Inhalt der im Intervall \([0;1]\) oberhalb der \(x\)-Achse liegenden Fläche positiv und der Inhalt der im Intervall \([1;2{,}5]\) unterhalb der \(x\)-Achse liegenden Fläche negativ zur Flächenbilanz bei.

Aus \(\displaystyle F(2{,}5) - F(0) = \int_{0}^{2{,}5}f(x)dx \approx 0\) folgt, dass die Flächenbilanz näherungsweise gleich null ist. Somit sind die Inhalte der beiden Flächen etwa gleich groß.