Die Funktion \(f\) ist in \(D_f\) umkehrbar. Geben Sie die Definitionsmenge der Umkehrfunktion \(f^{-1}\) von \(f\) an und zeigen Sie, dass \(f^{-1} (x) = -\frac{1}{2}x^2 + 2x + 4\) gilt.
(4 BE)
Lösung zu Teilaufgabe 1e
\[f(x) = 2 - \sqrt{12 - 2x}\,; \quad D_{f} = \; ]-\infty;6]\]
Definitionsmenge der Umkehrfunktion \(f^{-1}\)
Umkehrfunktion \(\boldsymbol{f^{-1}}\) einer Funktion \(\boldsymbol{f}\)
Bestimmung des Funktionsterms \(\boldsymbol{f^{-1}(x)}\)
1. Funktionsgleichung \(\,y = f(x)\,\) nach \(\,x\,\) auflösen
2. Variablen tauschen: \(\;x \longleftrightarrow y \quad \Longrightarrow \quad y = f^{-1}(x)\)
Es gilt: \(\;D_{f^{-1}} = W_f\;\) und \(\; W_{f^{-1}} = D_f\)
Graph der Umkehrfunktion
Die Graphen einer Funktion und ihrer Umkehrfunktion sind zueinander symmetrisch bzgl. der Winkelhalbierenden des I. und III. Quadranten mit der Gleichung \(y = x\).
\(W_{f} = \; ]-\infty;2] \enspace\) (siehe Teilaufgabe 1c)
\[\Longrightarrow \quad D_{f^{-1}} = W_{f} = \; ]-\infty;2]\]
Nachweis, das \(f^{-1}(x) = -\frac{1}{2}x^2 + 2x + 4\) gilt
\[f(x) = 2 - \sqrt{12 - 2x}\]
Umkehrfunktion \(\boldsymbol{f^{-1}}\) einer Funktion \(\boldsymbol{f}\)
Bestimmung des Funktionsterms \(\boldsymbol{f^{-1}(x)}\)
1. Funktionsgleichung \(\,y = f(x)\,\) nach \(\,x\,\) auflösen
2. Variablen tauschen: \(\;x \longleftrightarrow y \quad \Longrightarrow \quad y = f^{-1}(x)\)
Es gilt: \(\;D_{f^{-1}} = W_f\;\) und \(\; W_{f^{-1}} = D_f\)
Graph der Umkehrfunktion
Die Graphen einer Funktion und ihrer Umkehrfunktion sind zueinander symmetrisch bzgl. der Winkelhalbierenden des I. und III. Quadranten mit der Gleichung \(y = x\).
Funktionsgleichung \(y = f(x)\) nach \(x\) auflösen:
\[\begin{align*} y &= 2 - \sqrt{12 - 2x} & &| + \sqrt{12 - 2x} - y \\[0.8em] \sqrt{12 - 2x} &= 2 - y & &| (\dots)^2 \\[0.8em] 12 - 2x &= (2 - y)^2 \\[0.8em] 12 - 2x &= 4 - 4y + y^2 & &| - 12 \\[0.8em] -2x &= y^2 - 4y - 8 & &| : (-2) \\[0.8em] x &= -\frac{1}{2}y^2 + 2y + 4 \end{align*}\]
Variablen tauschen:
\[\begin{align*}x = -\frac{1}{2}y^2 + 2y + 4 \quad \Longrightarrow \quad y &= -\frac{1}{2}x^2 + 2x + 4 \\[0.8em] y &= f^{-1}(x) \end{align*}\]
\[\Longrightarrow \quad f^{-1}(x) = -\frac{1}{2}x^2 + 2x + 4\,; \quad D_{f^{-1}} = ]-\infty;2[\]
Anmerkung: Um den Term der Umkehrfunktion zu bilden, ist es ebenso möglich, die Variablen zuerst zu tauschen und anschließend nach \(y\) aufzulösen.
