Die Tangente \(t\) an \(G\) in dessen Wendepunkt hat die Gleichung \(y = -\dfrac{5}{e^2}x + \dfrac{20}{e^2}\). Ermitteln Sie eine Gleichung der Gerade, die den Extrempunkt von \(G\) enthält und senkrecht zu \(t\) verläuft.
(3 BE)
Lösung zu Teilaufgabe 1b
\[t \colon y = -\frac{5}{e^2}x + \frac{20}{e^2}\]
\(\big(1|\frac{5}{e}\big)\) ist der einzige Extrempunkt von \(G\) (vgl. Teilaufgabe 1a)
Ansatz für die zu ermittelnde Geradengleichung:
\[y = \textcolor{#cc071e}{m}x + \textcolor{#0087c1}{b}\]
Steigung \(\textcolor{#cc071e}{m}\) der Gerade bestimmen:
Zwei Geraden sind genau dann zueinander senkrecht, wenn das Produkt ihrer Steigungen \(-1\) ergibt.
Zueinander parallele / senkrechte (orthogonale) Geraden
\[g_1 \colon y = m_1\cdot x + t_1; \enspace g_2 \colon y = m_2\cdot x + t_2\]
parallele Geraden:
\[m_1 = m_2 \; \Leftrightarrow \; g_1 \parallel g_2\]
senkrechte (orthogonale) Geraden:
\[m_1 \cdot m_2 = -1 \; \Leftrightarrow \; g_1 \perp g_2\]
\[t \colon y = \textcolor{#e9b509}{-\frac{5}{e^2}}x + \frac{20}{e^2}\]
\[\textcolor{#cc071e}{m} \cdot \textcolor{#e9b509}{-\frac{5}{e^2}} = -1 \; \Leftrightarrow \; \textcolor{#cc071e}{m} = -\frac{1}{\textcolor{#e9b509}{-\frac{5}{e^2}}} = \textcolor{#cc071e}{\frac{e^2}{5}}\]
\(\textcolor{#0087c1}{y}\)-Achsenabschnitt \(\textcolor{#0087c1}{b}\) der Gerade bestimmen:
Hierfür wird die Steigung \(\textcolor{#cc071e}{m = \frac{e^2}{5}}\) sowie die Koordinaten des Extrempunkts \(\big(1|\frac{5}{e}\big)\) von \(G\) in den Ansatz \(y = \textcolor{#cc071e}{m}x + \textcolor{#0087c1}{b}\) eingesetzt und die Gleichung nach \(\textcolor{#0087c1}{b}\) aufgelöst.
\[\begin{align*} y &= \textcolor{#cc071e}{m}x + \textcolor{#0087c1}{b} \\[0.8em] \frac{5}{e} &= \textcolor{#cc071e}{\frac{e^2}{5}} \cdot 1 + \textcolor{#0087c1}{b} &&| -\frac{e^2}{5} \\[0.8em] \textcolor{#0087c1}{\frac{5}{e} - \frac{e^2}{5}} &= \textcolor{#0087c1}{b}\end{align*}\]
Gleichung der gesuchten Gerade:
\[y = \textcolor{#cc071e}{\frac{e^2}{5}} \cdot x + \textcolor{#0087c1}{\frac{5}{e} - \frac{e^2}{5}}\]
