Es gibt Werte \(a \in \mathbb R^+\), für die \(\displaystyle \int_0^{a} q(x)\,dx < 0\) gilt. Geben Sie einen solchen Wert an und begründen Sie Ihre Antwort ohne zu rechnen.

(3 BE)

Lösung zu Teilaufgabe 2g

Im Intervall \([0; \frac{3}{2}\pi]\) schließt der Graph der Funktion \(q\) mit den Koordinatenachsen und der Geraden \(x = \frac{3}{2}\pi\) zwei Flächenstücke ein.

\(\displaystyle\int_{0}^{a} q(x)\,dx < 0\) für \(\displaystyle a = \frac{3}{2}\pi\)

Für \(\displaystyle a = \frac{3}{2}\pi\) errechnet das Integral \(\displaystyle \int_{0}^{a} q(x)\,dx\) die Flächenbilanz aus einem Flächenstück oberhalb der \(x\)-Achse und einem Flächenstück unterhalb der \(x\)-Achse.

Ab \(\displaystyle a = \frac{3}{2}\pi\) ist jedes Flächenstück oberhalb der \(x\)-Achse stets größer als das darauf folgende Flächenstück unterhalb der \(x\)-Achse.

Eine negative Flächenbilanz \(\displaystyle \int_{0}^{a} q(x)\,dx < 0\) wird man somit für die Summe der beiden Flächenstücke erwarten, die der Graph von \(q\) zwischen \(x = 0\) und \(\displaystyle a \leq \frac{3}{2}\pi\) mit den Koordinatenachsen und der Geraden \(x = a\) einschließt.