Gegeben ist die Ebene \(E\;\colon\,2x_1 - x_2 + 2x_3 = 4\).
Die Ebene \(E\) schneidet die \(x_1x_2\)-Ebene in der Geraden \(g\). Bestimmen Sie eine Gleichung von \(g\)
(3 BE)
Lösung zu Teilaufgabe 1a
1. Lösungsansatz: Spurpunkte, Spurgerade
Die Spurpunkte \(S_1\) und \(S_2\) der Ebene \(E\) mit der \(x_1\)-Achse bzw. mit der \(x_2\)-Achse legen die Spurgerade \(g\) der Ebene \(E\) in der \(x_1x_2\)-Ebene fest.
Wählt man beispielsweise \(S_1\) als Aufpunkt und den Vektor \(\overrightarrow{S_1S_2}\) als Richtungsvektor, lautet die Gleichung der Geraden \(g\) in Parameterform:
\[g\,\colon\; \overrightarrow{X} = \overrightarrow{S_1} + \lambda \cdot \overrightarrow{S_1S_2} \,; \enspace \lambda \in \mathbb R\]
Spurpunkte \(S_1\) und \(S_2\) bestimmen:
Da die Spurpunkte \(S_1\) und \(S_2\) in \(x_1x_2\)-Ebene liegen, ist die \(x_3\)-Koordinate der Spurpunkte gleich Null. Die Spurpunkte liegen ebenfalls in der Ebene \(E\).
\[S_1(x_1|0|0)\,, S_2(0|x_2|0) \in E\]
\[E\,\colon\; 2x_1 - x_2 + 2x_3 = 4\]
\[\begin{align*}S_1 \in E\,\colon\; 2x_1 - 0 + 2 \cdot 0 &= 4 \\[0.8em] 2x_1 &= 4 & &| : 2 \\[0.8em] x_1 &= 2 \end{align*}\]
\[\Longrightarrow \quad S_1(2|0|0)\]
\[\begin{align*}S_2 \in E\,\colon\; 2 \cdot 0 - x_2 + 2 \cdot 0 &= 4 \\[0.8em] -x_2 &= 4 & &| \cdot (-1) \\[0.8em] x_2 &= -4 \end{align*}\]
\[\Longrightarrow \quad S_2(0|-4|0)\]
Richtungsvektor \(\overrightarrow{S_1S_2}\) der Spurgeraden \(g\) berechnen:
\[\overrightarrow{S_1S_2} = \overrightarrow{S_2} - \overrightarrow{S_1} = \begin{pmatrix} 0 \\ -4 \\ 0 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 \\-4 \\ 0 \end{pmatrix} = -2 \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix}\]
Mit dem Aufpunkt \(S_1(2|0|0)\) folgt:
\[g\,\colon\; \overrightarrow{X} = \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} -2 \\ -4 \\ 0 \end{pmatrix}\,; \enspace \lambda \in \mathbb R\]
oder
\[g\,\colon\; \overrightarrow{X} = \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix}\,; \enspace \lambda \in \mathbb R\]
2. Lösungsansatz: Vektorprodukt der Normalenvektoren der Ebenen
Der Richtungsvektor \(\overrightarrow{u}_g\) der Schnittgeraden \(g\) steht senkrecht auf den Normalenvektoren der Ebene \(E\) und der \(x_1x_2\)-Ebene.
Es sei \(A\) ein Aufpunkt der Geraden \(g\), welcher zusammen mit dem Richtungsvektor \(\overrightarrow{u}_g\) die Gleichung der Geraden \(g\) beschreibt.
\[g\,\colon\; \overrightarrow{X} = \overrightarrow{A} + \mu \cdot \overrightarrow{u}_g\,; \enspace \mu \in \mathbb R\]
Richtungsvektor \(\overrightarrow{u}_g\) der Schnittgeraden \(g\) bestimmen:
Der Richtungsvektor \(\overrightarrow{u}_g\,\), welcher senkrecht auf dem Normalenvektor \(\overrightarrow{n}_E\) der Ebene \(E\) und senkrecht auf dem Normalenvektor \(\overrightarrow{n}_{x_1x_2}\) der \(x_1x_2\)-Ebene steht, lässt sich mithilfe des Vektorprodukts bestimmen.
Vektorprodukt (Kreuzprodukt)
Das Vektorprodukt \(\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b}\) zweier Vektoren \(\overrightarrow{a}\) und \(\overrightarrow{b}\) erzeugt einen neuen Vektor \(\overrightarrow{c} = \overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b}\) mit den Eigenschaften:
\(\overrightarrow{c}\) ist sowohl zu \(\overrightarrow{a}\) als auch zu \(\overrightarrow{b}\) senkrecht.
\[\overrightarrow{c} = \overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b} \quad \Longrightarrow \quad \overrightarrow{c} \perp \overrightarrow{a}, \enspace \overrightarrow{c} \perp \overrightarrow{b}\]
Der Betrag des Vektorprodukts zweier Vektoren \(\overrightarrow{a}\) und \(\overrightarrow{b}\) ist gleich dem Produkt aus den Beträgen der Vektoren \(\overrightarrow{a}\) und \(\overrightarrow{b}\) und dem Sinus des von ihnen eingeschlossenen Winkels \(\varphi\).
\[\vert \overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b} \vert = \vert \overrightarrow{a} \vert \cdot \vert \overrightarrow{b} \vert \cdot \sin{\varphi} \quad (0^{\circ} \leq \varphi \leq 180^{\circ})\]
Die Vektoren \(\overrightarrow{a}\), \(\overrightarrow{b}\) und \(\overrightarrow{c}\) bilden in dieser Reihenfolge ein Rechtssystem. Rechtehandregel: Weist \(\overrightarrow{a}\) in Richtung des Daumens und \(\overrightarrow{b}\) in Richtung des Zeigefingers, dann weist \(\overrightarrow{c} = \overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b}\) in Richtung des Mittelfingers.
Berechnung eines Vektorprodukts im \(\boldsymbol{\mathbb R^{3}}\) (vgl. Merkhilfe)
\[\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b} = \begin {pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end {pmatrix} \times \begin {pmatrix} b_1 \\ b_2 \\ b_3 \end {pmatrix} = \begin {pmatrix} a_2 \cdot b_3 - a_3 \cdot b_2 \\ a_3 \cdot b_1 - a_1 \cdot b_3 \\ a_1 \cdot b_2 - a_2 \cdot b_1 \end {pmatrix}\]
\[x_1x_2\text{-Ebene}\,\colon\; x_3 = 0\,; \quad \overrightarrow{n}_{x_1x_2} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}\]
\[E\,\colon\; 2x_1 - x_2 + 2x_3 = 4\,; \quad \overrightarrow{n}_E = \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix}\]
\[\begin{align*}\overrightarrow{n}_{x_1x_2} \times \overrightarrow{n}_E &= \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix} \\[0.8em] &= \begin{pmatrix} 0 & \cdot & 2 & - & 1 & \cdot & (-1) \\ 1 & \cdot & 2 & - & 0 & \cdot & 2 \\ 0 & \cdot & (-1) & - & 0 & \cdot & 2 \end{pmatrix} \\[0.8em] &= \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix} \end{align*}\]
\[\Longrightarrow \quad \overrightarrow{u}_g = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix}\]
Aufpunkt \(A\) der Schnittgeraden \(g\) bestimmen:
Ein Aufpunkt \(A\,(x_1|x_2|x_3)\) der Schnittgeraden \(g\) muss beide Ebenengleichungen erfüllen. Da die Schnittgerade \(g\) in der \(x_1x_2\)-Ebene liegt, ist die \(x_3\)-Koordinate des Aufpunkts \(A\) gleich Null.
\[A\,(x_1|x_2|0)\]
Eine der beiden Koordinaten \(x_1\) oder \(x_2\) kann frei gewählt werden, z.B. \(x_1 = 1\).
Die \(x_2\)-Koordinate bestimmt man durch Einsetzen der Koordinaten des Aufpunkts \(A\) in die Ebenengleichung der Ebene \(E\).
\[A(1|x_2|0)\]
\[E\,\colon\; 2x_1 - x_2 + 2x_3 = 4\]
\[\begin{align*}A \in E\,\colon\; 2 \cdot 1 - x_2 + 2 \cdot 0 &= 4 \\[0.8em] 2 - x_2 &= 4 & &| -2 \\[0.8em] -x_2 &= 2 & &| \cdot (-1) \\[0.8em] x_2 &= -2 \end{align*}\]
\[\Longrightarrow \quad A(1|-2|0)\]
\[\Longrightarrow \quad g\,\colon\; \overrightarrow{X} = \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 0 \end{pmatrix} + \mu \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix}\,; \enspace \mu \in \mathbb R\]
