Abiturlösungen Mathematik Bayern 2019

Aufgaben mit ausführlichen Lösungen

Bestimmen Sie rechnerisch Lage und Art des Extrempunkts von \(G_{f}\).

(5 BE)

Lösung zu Teilaufgabe b

 

\[f(x) = \frac{4x}{(x + 1)^{2}}; \; D_{f} = \mathbb R \backslash \{-1\}\]

 

Lage des Extrempunkts von \(G_{f}\)

Die notwendige Bedingung für einen Extrempunkt von \(G_{f}\) lautet:

Extrempunkte

Anwendung der Differentialrechnung:

Extrempunkte

Ist \(f'(x_{0}) = 0\) und wechselt \(f'\) an der Stelle \(x_{0}\) das Vorzeichen, so hat \(G_{f}\) an der Stelle \(x_{0}\) einen Extrempunkt.

(vgl. Merkhilfe)

\[f'(x) = 0\]

 

Erste Ableitung \(f'\) bilden:

Die Ableitungsfunktion \(f'(x)\) kann mithilfe der Quotientenregel, der Kettenregel sowie der Ableitung einer Potenzfunktion gebildet werden.

 

\[f(x) = \frac{\textcolor{#0087c1}{4x}}{\textcolor{#cc071e}{(x + 1)^{2}}}\]

Erste Ableitung elementarer Funktionen und Ableitungsregeln

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Ableitungen
Ableitungsregeln

Ableitungen der Grundfunktionen

\[c' = 0 \enspace (c \in \mathbb R)\]

\[\left( x^r \right)' = r \cdot x^{r - 1} \enspace (r \in \mathbb R)\]

\[\left( \sqrt{x} \right)' = \frac{1}{2\sqrt{x}}\]

\[\left( \sin{x} \right)' = \cos{x}\]

\[\left( \cos{x} \right)' = -\sin{x}\]

 

\[\left( \ln{x} \right)' = \frac{1}{x}\]

\[\left( \log_{a}{x}\right)' = \frac{1}{x \cdot \ln{a}}\]

\[\left( e^x \right)' = e^x\]

\[\left(a^x \right)' = a^x \cdot \ln{a}\]

vgl. Merkhilfe

Faktorregel

\[\begin{align*}f(x) &= a \cdot \textcolor{#0087c1}{u(x)} \\[0.8em] f'(x) &= a \cdot \textcolor{#0087c1}{u'(x)}\end{align*}\]

Summenregel

\[\begin{align*}f(x) &= \textcolor{#0087c1}{u(x)} + \textcolor{#cc071e}{v(x)} \\[0.8em] f'(x) &= \textcolor{#0087c1}{u'(x)} + \textcolor{#cc071e}{v'(x)}\end{align*}\]

Produktregel

\[\begin{align*}f(x) &= \textcolor{#0087c1}{u(x)} \cdot \textcolor{#cc071e}{v(x)} \\[0.8em] f'(x) &= \textcolor{#0087c1}{u'(x)} \cdot \textcolor{#cc071e}{v(x)} + \textcolor{#0087c1}{u(x)} \cdot \textcolor{#cc071e}{v'(x)}\end{align*}\]

 

Quotientenregel

\[\begin{align*}f(x) &= \dfrac{\textcolor{#0087c1}{u(x)}}{\textcolor{#cc071e}{v(x)}} \\[0.8em] f'(x) &= \dfrac{\textcolor{#0087c1}{u'(x)} \cdot \textcolor{#cc071e}{v(x)} - \textcolor{#0087c1}{u(x)} \cdot \textcolor{#cc071e}{v'(x)}}{[\textcolor{#cc071e}{v(x)}]^{2}}\end{align*}\]

Kettenregel

\[\begin{align*}f(x) &= \textcolor{#0087c1}{u(}\textcolor{#cc071e}{v(x)}\textcolor{#0087c1}{)} \\[0.8em] f'(x) &= \textcolor{#0087c1}{u'(}\textcolor{#cc071e}{v(x)}\textcolor{#0087c1}{)} \cdot \textcolor{#cc071e}{v'(x)}\end{align*}\]

vgl. Merkhilfe

\[\begin{align*} f'(x) &= \frac{\textcolor{#0087c1}{4} \cdot \textcolor{#cc071e}{(x + 1)^{2}} - \textcolor{#0087c1}{4x} \cdot \overbrace{\textcolor{#cc071e}{2 \cdot (x + 1) \cdot 1}}^{\large{\text{Kettenregel}}}}{\textcolor{#cc071e}{\left[ (x + 1)^{2} \right]^{2}}} \\[0.8em] &= \frac{4 \cdot (x + 1)^{2} - 8x \cdot (x + 1)}{(x + 1)^{4}} &&| \; (x + 1) \; \text{ausklammern und kürzen} \; (x \neq -1) \\[0.8em] &= \frac{\cancel{(x + 1)} \cdot [4 \cdot (x + 1) - 8x]}{(x + 1)^{\cancelto{3}{4}}} \\[0.8em] &= \frac{4x + 4 - 8x}{(x + 1)^{3}} \\[0.8em] &= \frac{4 - 4x}{(x + 1)^{3}} \\[0.8em] &= \frac{4 \cdot (1 - x)}{(x + 1)^{3}} \end{align*}\]

 

Nullstelle von \(f'\) berechnen:

Ein Quotient ist gleich Null, wenn der Zähler gleich Null ist.

 

\[f'(x) = 0 \quad \Longrightarrow \quad 4 \cdot (1 - x) = 0 \quad \Longrightarrow \quad x = 1\]

 

Abbildung Aufgabe a Analysis 2 Mathematik Abitur Bayern 2019 B

Die Abbildung bestätigt die Extremstelle \(x = 1\) von \(G_{f}\).

 

\(y\)-Koordinate des Extrempunkts berechnen:

 

\[f(1) = \frac{4 \cdot 1}{(1 + 1)^{2}} = 1\]

 

Somit besitzt \(G_{f}\) den Extrempunkt \((1|1)\)

 

Art des Extrempunkts von \(G_{f}\)

Die Abbildung (vgl. oben) zeigt den Hochpunkt \((1|1)\).

 

1. Möglichkeit: Monotonietabelle

Es wird der Vorzeichenwechsel von \(f'(x)\) an der Stelle \(x = 1\) untersucht und anhand des Monotoniekriteriums das Monotonieverhalten von \(G_{f}\) betrachtet.

Monotoniekriterium

Anwendung der Differetialrechnung:

Monotoniekriterium

\(f'(x) < 0\) im Intervall \( I \quad \Longrightarrow \quad G_{f}\) fällt streng monoton in \(I\)

\(f'(x) > 0\) im Intervall \( I \quad \Longrightarrow \quad G_{f}\) steigt streng monoton in \(I\)

(vgl. Merkhilfe)

\[f'(x) = \frac{4 \cdot (1 - x)}{(x + 1)^{2}}\]

 

\(x\) \(-1 < x < 1\) \(1\) \(x > 1\)
\(f'(x)\) \(\textcolor{#0087c1}{\Large{+}}\) \(0\) \(\textcolor{#cc071e}{\Large{-}}\)
\(G_{f}\) \(\textcolor{#0087c1}{\Large{\nearrow}}\) \(HoP(1|1)\) \(\textcolor{#cc071e}{\Large{\searrow}}\)

 

Testwerte z.B.: \(x = 0\) und \(x = 2\)

 

\[f'(0) = \frac{4 \cdot (1 - 0)}{(0 + 1)^{2}} = 4 \textcolor{#0087c1}{> 0}\]

\[f'(2) = \frac{4 \cdot (1 - 2)}{(2 + 1)^{2}} = -\frac{4}{9} \textcolor{#cc071e}{< 0}\]

 

Wie die Abbildung (vgl. oben) bestätigt, besitzt \(G_{f}\) den Hochpunkt \(HoP(1|1)\).

 

2. Möglichkeit: Art des Extrempunkts mithilfe der zweiten Ableitung nachweisen

Diese Möglichkeit sei der Vollständigkeit halber aufgeführt. Sie ist zeitaufwendiger und daher nicht zu empfehlen.

Das Vorzeichen von \(f''(1)\) bestimmt das Krümmungsverhalten von \(G_{f}\) an der Stelle \(x = 1\) und lässt damit auf die Art des Extrempunkts schließen.

Art von Extrempunkten mithilfe der zweiten Ableitung nachweisen

Anwendung der Differentialrechnung:

Art von Extrempunkten mithilfe der zweiten Ableitung nachweisen

Ist \(f'(x_{0}) = 0\) und \(f''(x_{0}) > 0\), so hat der Graph \(G_{f}\) an der Stelle \(x_{0}\) ein relatives Minimum (Tiefpunkt).

Ist \(f'(x_{0}) = 0\) und \(f''(x_{0}) < 0\), so hat der Graph \(G_{f}\) an der Stelle \(x_{0}\) ein relatives Maximum (Hochpunkt).

\[f'(x) = \frac{\textcolor{#0087c1}{4 - 4x}}{\textcolor{#cc071e}{(x + 1)^{3}}}\]

Erste Ableitung elementarer Funktionen und Ableitungsregeln

\[\begin{align*} f''(x) &= \frac{\textcolor{#0087c1}{(0 - 4)} \cdot \textcolor{#cc071e}{(x + 1)^{3}} - \textcolor{#0087c1}{(4 - 4x)} \cdot \textcolor{#cc071e}{3 \cdot (x + 1)^{2} \cdot 1}}{\textcolor{#cc071e}{\left[ (x + 1)^{3} \right]^{2}}} \\[0.8em] &= \frac{(-4) \cdot (x + 1)^{3} - (12 - 12x) \cdot (x + 1)^{2}}{(x + 1)^{6}} \\[0.8em] &= \frac{\cancel{(x + 1)^{2}} \cdot \left[ (-4) \cdot (x + 1) - (12 - 12x) \right]}{(x + 1)^{\cancelto{4}{6}}} &&| \; (x \neq -1) \\[0.8em] &= \frac{-4x - 4 - 12 + 12x}{(x + 1)^{4}} \\[0.8em] &= \frac{8x - 16}{(x + 1)^{4}} \\[0.8em] &= \frac{8 \cdot (x - 2)}{(x + 1)^{4}} \end{align*}\]

 

\[\textcolor{#89ba17}{f''(1)} = \frac{8 \cdot (1 - 2)}{(1 + 1)^{2}} = \frac{-8}{16} = -\frac{1}{2} \textcolor{#89ba17}{< 0} \quad \Longrightarrow \quad \textcolor{#89ba17}{HoP(1|1)}\]

2.3.2 Lagebeziehung von Gerade und Ebene

2.3.2 Lagebeziehung von Gerade und ...
2.3.2 Lagebeziehung von Gerade und Ebene