Die erste Ableitungsfunktion von \(h_k\) wird mit \(h'_k\) bezeichnet. Beurteilen Sie die folgende Aussage:
Es gibt genau einen Wert von \(k\), für den der Graph von \(h'_k\) Tangente an den Graphen von \(h_k\) ist.
(6 BE)
Lösung zu Teilaufgabe 2c
\[h_k(x) = (x - 3)^k + 1; \;D_{h_k} = \mathbb R, \; k \in \{1;2;3;\dots\}\]
Erste Ableitung \(h'_k\) bilden:
Ableitungen der Grundfunktionen
\[c' = 0 \enspace (c \in \mathbb R)\]
\[\left( x^r \right)' = r \cdot x^{r - 1} \enspace (r \in \mathbb R)\]
\[\left( \sqrt{x} \right)' = \frac{1}{2\sqrt{x}}\]
\[\left( \sin{x} \right)' = \cos{x}\]
\[\left( \cos{x} \right)' = -\sin{x}\]
\[\left( \ln{x} \right)' = \frac{1}{x}\]
\[\left( \log_{a}{x}\right)' = \frac{1}{x \cdot \ln{a}}\]
\[\left( e^x \right)' = e^x\]
\[\left(a^x \right)' = a^x \cdot \ln{a}\]
vgl. Merkhilfe
Faktorregel
\[\begin{align*}f(x) &= a \cdot \textcolor{#0087c1}{u(x)} \\[0.8em] f'(x) &= a \cdot \textcolor{#0087c1}{u'(x)}\end{align*}\]
Summenregel
\[\begin{align*}f(x) &= \textcolor{#0087c1}{u(x)} + \textcolor{#cc071e}{v(x)} \\[0.8em] f'(x) &= \textcolor{#0087c1}{u'(x)} + \textcolor{#cc071e}{v'(x)}\end{align*}\]
Produktregel
\[\begin{align*}f(x) &= \textcolor{#0087c1}{u(x)} \cdot \textcolor{#cc071e}{v(x)} \\[0.8em] f'(x) &= \textcolor{#0087c1}{u'(x)} \cdot \textcolor{#cc071e}{v(x)} + \textcolor{#0087c1}{u(x)} \cdot \textcolor{#cc071e}{v'(x)}\end{align*}\]
Quotientenregel
\[\begin{align*}f(x) &= \dfrac{\textcolor{#0087c1}{u(x)}}{\textcolor{#cc071e}{v(x)}} \\[0.8em] f'(x) &= \dfrac{\textcolor{#0087c1}{u'(x)} \cdot \textcolor{#cc071e}{v(x)} - \textcolor{#0087c1}{u(x)} \cdot \textcolor{#cc071e}{v'(x)}}{[\textcolor{#cc071e}{v(x)}]^{2}}\end{align*}\]
Kettenregel
\[\begin{align*}f(x) &= \textcolor{#0087c1}{u(}\textcolor{#cc071e}{v(x)}\textcolor{#0087c1}{)} \\[0.8em] f'(x) &= \textcolor{#0087c1}{u'(}\textcolor{#cc071e}{v(x)}\textcolor{#0087c1}{)} \cdot \textcolor{#cc071e}{v'(x)}\end{align*}\]
vgl. Merkhilfe
\[h'_k(x) = k \cdot (x - 3)^{k - 1}\]
Damit der Graph von \(h'_k\) eine Tangente an den Graphen von \(h_k\) sein kann, muss dieser eine Gerade sein. Somit kommen nur die Werte \(k = 1\) und \(k = 2\) infrage.
Für \(k =1\) ist \(h_1(x) = x - 2\) eine lineare Funktion und \(h'_1(x) = 1\) eine konstante Funktion. Da sich die Graphen beider Funktionen schneiden, scheidet die Möglichkeit \(k = 1\) aus und es verbleibt \(k = 2\).
\[h_2(x) = (x - 3)^2 + 1\]
\[h'_2(x) = 2 \cdot (x - 3) = 2x - 6\]
Der Graph von \(h'_2\) ist Tangente an den Graphen von \(h_2\), wenn sich die Graphen in einem Punkt berühren.
Gleichsetzen der Funktionsterme liefert:
\[\begin{align*} h_2(x) &= h'_2(x) \\[0.8em] (x - 3)^2 + 1 &= 2x - 6 \\[0.8em] x^2 - 6x + 9 + 1 &= 2x - 6 &&| -2x + 6 \\[0.8em] x^2 - 8x + 16 &= 0 \end{align*}\]
Die Graphen berühren sich in einem Punkt, wenn die quadratische Gleichung genau eine Lösung hat. Dies ist dann der Fall, wenn der Wert der Diskriminante \(D = b^2 - 4ac\) null ist.
Lösungsformel für quadratische Gleichungen (vgl. Merkhilfe)
\[ax^2 + bx + c = 0 \,, \qquad a, b, c \in \mathbb R \,, \quad a \neq 0\]
\[\begin{align*} x_{1,2} &= \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}, \quad b^2 \geq 4ac \\[0.8em] x_{1,2} &= \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}, \quad D \geq 0 \end{align*}\]
Diskriminante \(D = b^2 -4ac \;\):
\(D < 0\,\): keine Lösung
\(D = 0\,\): genau eine Lösung
\(D > 0\,\): zwei verschiedene Lösungen
\[D = (-8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 16 = 64 - 64 = 0\]
Also ist für \(k = 2\) der Graph von \(h'_2\) Tangente an den Graphen von \(h_2\).
Somit ist die Aussage
Es gibt genau einen Wert von \(k\), für den der Graph von \(h'_k\) Tangente an den Graphen von \(h_k\) ist.
richtig.
