Abiturlösungen Mathematik Bayern 2018

Aufgaben mit ausführlichen Lösungen

Bestimmen Sie unter Verwendung dieser Binomialverteilung die kleinste Geschwindigkeit \(v^{*}\), für die die folgende Aussage zutrifft: „Bei mehr als 95 % der erfassten Fahrten wird \(v^{*}\) nicht überschritten."

(2 BE)

Lösung zu Teilaufgabe 1c

 

Es sei \(X\) die nach \(B(100;0{,}8)\) binomialverteilte Zufallsgröße, welche die auf km/h genau gemessene Geschwindigkeit beschreibt.

 

Mithilfe des Stochastischen Tafelwerks (ST) ergibt sich:

Kumulative Verteilungsfunktion einer binomialverteilten Zufallsgröße

Kumulative Verteilungsfunktion einer nach \(B(n, p)\) binomialverteilten Zufallsgröße \(X\)

\[F^n_p (k) = P^n_p (X \leq k) = \sum_{i \, = \, 0}^k B(n; p; i) = \sum_{i \, = \, 0}^k \binom{n}{i} \cdot p^i \cdot (1 - p)^{n - i}\]

Wobei \(n\) die Länge der Bernoullikette, \(p\) die Trefferwahrscheinlichkeit für das Eintreten des betrachteten Ereignisses und \(k \in \{0,1,\dots,n\}\) die Anzahl der Treffer ist.

Das Stochastische Tafelwerk (ST) listet die Werte der Kumulativen Verteilungsfunktion jeweils in der rechten Spalte einer betrachteten Tabelle der Parameter \(n\) und \(p\). 

\[P_{0{,}8}^{100}(X \leq k) > 0{,}95 \; \overset{\text{ST}}{\Rightarrow} \; k = 86\]

 

Bei mehr als 95 % der erfassten Fahrten wird die Geschwindigkeit \(v^{*} = 86\;\sf{km/h}\) nicht überschritten.

2.5 Schnittwinkelberechnungen

2.5 Schnittwinkelberechnungen
2.5 Schnittwinkelberechnungen