Zeigen Sie, dass für die zweite Ableitung \(f''\) von \(f\) die Beziehung \(f''(x) = \frac{1}{4} \cdot f(x)\) für \(x \in \mathbb R\) gilt. Weisen Sie nach, dass \(G_{f}\) linksgekrümmt ist.

(zur Kontrolle: \(f'(x) = \frac{1}{2} \cdot \left( e^{\frac{1}{2}x} + e^{-\frac{1}{2}x} \right)\))

(4 BE)

Lösung zu Teilaufgabe 1c

 

Krümmungsverhalten eines Funktionsgraphen

 

Nachweis der Beziehung \(f''(x) = \frac{1}{4} \cdot f(x)\) für \(x \in \mathbb R\)

 

\[f(x) = e^{\frac{1}{2}x} + e^{-\frac{1}{2}x}; \; D = \mathbb R\]

Ableitungsregeln

Ableitung der natürlichen Exponentialfunktion

\[f(x) = e^x \quad \Longrightarrow \quad f'(x) = e^x\]

Kettenregel

\[f(x) = u(v(x)) \quad \Longrightarrow \quad f'(x) = u'(v(x)) \cdot v'(x) \]

Summenregel

\(f(x) = u(x) + v(x) \quad \Longrightarrow \quad f'(x) = u'(x) + v'(x)\)

(vgl. Merkhilfe)

Mithilfe der Ableitung der natürlichen Exponentialfunktion sowie der Ketten- und der Summenregel ergibt sich:

 

\[\begin{align*}f'(x) &= e^{\frac{1}{2}x} \cdot \frac{1}{2} + e^{-\frac{1}{2}x} \cdot \left( -\frac{1}{2} \right) \\[0.8em] &= \frac{1}{2} \cdot \left( e^{\frac{1}{2}x} - e^{-\frac{1}{2}x} \right) \end{align*}\]

 

\[\begin{align*}f''(x) &= \frac{1}{2} \cdot \left[ e^{\frac{1}{2}x} \cdot \frac{1}{2} - e^{-\frac{1}{2}x} \left( -\frac{1}{2} \right)  \right] \\[0.8em] &= \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \left( e^{\frac{1}{2}x} + e^{-\frac{1}{2}x} \right) \\[0.8em] &= \frac{1}{4} \cdot \left( e^{\frac{1}{2}x} + e^{-\frac{1}{2}x} \right) \\[0.8em] &= \frac{1}{4} \cdot f(x) \end{align*}\]

 

Nachweis, dass \(G_{f}\) linksgekrümmt ist

 

\[f''(x) = \frac{1}{4} \cdot f(x)\]

 

Aus Teilaufgabe 1a ist bekannt: \(f(x) > 0\) für \(x \in \mathbb R\).

Krümmungsverhalten

Anwendung der Differentialrechnung:

Krümmungsverhalten von Funktionsgraphen

\(f''(x) < 0\) im Intervall \(I \quad \Longrightarrow \quad G_f\) ist in \(I\) rechtsgekrümmt.

\(f''(x) > 0\) im Intervall \(I \quad \Longrightarrow \quad G_f\) ist in \(I\) linksgekrümmt.

(vgl. Merkhilfe)

\(\Longrightarrow \quad f''(x) > 0\) für \(x \in \mathbb R\).

 

\(\Longrightarrow \quad G_{f}\) ist in \(\mathbb R\) linksgekrümmt.