Gegeben ist die in \(\mathbb R\) definierte Funktion \(f\) mit \(f(x) = -x^{3} + 9x^{2} -15x -25\). Weisen Sie nach, dass \(f\) folgende Eigenschaften besitzt:
(1) Der Graph von \(f\) besitzt an der Stelle \(x = 0\) die Steigung \(-15\).
(2) Der Graph von \(f\) besitzt im Punkt \(A(5|f(5))\) die \(x\)-Achse als Tangente.
(3) Die Tangente \(t\) an den Graphen der Funktion \(f\) im Punkt \(B(-1|f(-1))\) kann durch die Gleichung \(y = -36x - 36\) beschrieben werden.
(5 BE)
Lösung zu Teilaufgabe 3
Nachweis von Eigenschaft (1)
(1) Der Graph von \(f\) besitzt an der Stelle \(x = 0\) die Steigung \(-15\).
Die erste Ableitung \(f'\) beschreibt die Steigung des Graphen von \(f\). Es muss also \(f'(0) = -15\) gelten.
Erste Ableitung \(f'\) bilden:
Die Erste Ableitung \(f'\) lässt sich mithilfe der Ableitung einer Potenzfunktion sowie unter Berücksichtigung der Summen- und der Faktorregel bilden.
\[f(x) = -x^{3} + 9x^{2} - 15x - 25\]
Ableitungen der Grundfunktionen
\[c' = 0 \enspace (c \in \mathbb R)\]
\[\left( x^r \right)' = r \cdot x^{r - 1} \enspace (r \in \mathbb R)\]
\[\left( \sqrt{x} \right)' = \frac{1}{2\sqrt{x}}\]
\[\left( \sin{x} \right)' = \cos{x}\]
\[\left( \cos{x} \right)' = -\sin{x}\]
\[\left( \ln{x} \right)' = \frac{1}{x}\]
\[\left( \log_{a}{x}\right)' = \frac{1}{x \cdot \ln{a}}\]
\[\left( e^x \right)' = e^x\]
\[\left(a^x \right)' = a^x \cdot \ln{a}\]
vgl. Merkhilfe
Faktorregel
\[\begin{align*}f(x) &= a \cdot \textcolor{#0087c1}{u(x)} \\[0.8em] f'(x) &= a \cdot \textcolor{#0087c1}{u'(x)}\end{align*}\]
Summenregel
\[\begin{align*}f(x) &= \textcolor{#0087c1}{u(x)} + \textcolor{#cc071e}{v(x)} \\[0.8em] f'(x) &= \textcolor{#0087c1}{u'(x)} + \textcolor{#cc071e}{v'(x)}\end{align*}\]
Produktregel
\[\begin{align*}f(x) &= \textcolor{#0087c1}{u(x)} \cdot \textcolor{#cc071e}{v(x)} \\[0.8em] f'(x) &= \textcolor{#0087c1}{u'(x)} \cdot \textcolor{#cc071e}{v(x)} + \textcolor{#0087c1}{u(x)} \cdot \textcolor{#cc071e}{v'(x)}\end{align*}\]
Quotientenregel
\[\begin{align*}f(x) &= \dfrac{\textcolor{#0087c1}{u(x)}}{\textcolor{#cc071e}{v(x)}} \\[0.8em] f'(x) &= \dfrac{\textcolor{#0087c1}{u'(x)} \cdot \textcolor{#cc071e}{v(x)} - \textcolor{#0087c1}{u(x)} \cdot \textcolor{#cc071e}{v'(x)}}{[\textcolor{#cc071e}{v(x)}]^{2}}\end{align*}\]
Kettenregel
\[\begin{align*}f(x) &= \textcolor{#0087c1}{u(}\textcolor{#cc071e}{v(x)}\textcolor{#0087c1}{)} \\[0.8em] f'(x) &= \textcolor{#0087c1}{u'(}\textcolor{#cc071e}{v(x)}\textcolor{#0087c1}{)} \cdot \textcolor{#cc071e}{v'(x)}\end{align*}\]
vgl. Merkhilfe
\[\begin{align*}f'(x) &= (-1) \cdot 3 \cdot x^{2} + 9 \cdot 2 \cdot x - 15 + 0 \\[0.8em] &= -3x^{2} + 18x - 15 \end{align*}\]
Damit ergibt sich:
\[f'(0) = -3 \cdot 0^{2} + 18 \cdot 0 - 15 = -15\]
Also besitzt der Graph von \(f\) an der Stelle \(x = 0\) die Steigung \(-15\).
Nachweis von Eigenschaft (2)
(2) Der Graph von \(f\) besitzt im Punkt \(A(5|f(5))\) die \(x\)-Achse als Tangente.
Damit die \(x\)-Achse an der Stelle \(x = 5\) (waagrechte) Tangente des Graphen von \(f\) ist, muss \(f'(5) = 0\) (Steigung gleich Null) und außerdem \(f(5) = 0\) (Nullstelle) )gelten.
\[\begin{align*}f'(5) &= -3 \cdot 5^{2} + 18 \cdot 5 - 15 \\[0.8em] &= -75 + 90 - 15 \\[0.8em] &= 0 \end{align*}\]
\[\begin{align*}f(5) &= -5^{3} + 9 \cdot 5^{2} - 15 \cdot 5 - 25 \\[0.8em] &= -125 + 225 - 75 - 25 \\[0.8em] &= 0 \end{align*}\]
Also besitzt der Graph von \(f\) im Punkt \(A(5|f(5))\) die \(x\)-Achse als Tangente.
Nachweis von Eigenschaft (3)
(3) Die Tangente \(t\) an den Graphen der Funktion \(f\) im Punkt \(B(-1|f(-1))\) kann durch die Gleichung \(y = -36x - 36\) beschrieben werden.
1. Möglichkeit: \(B \in t\) und Steigung von \(G_{f}\) im Punkt \(B\) nachweisen
Bedingung I
Die Angabe der Koordinaten des Punktes \(B(-1|f(-1))\) sagt aus, dass \(B\) auf \(G_{f}\) liegt. Weist man nun mithilfe einer Punktprobe nach, dass \(B\) die Gleichung von \(t\) erfüllt, ist \(B\) ein gemeinsamer Punkt von \(G_{f}\) und \(t\).
Bedingung II
Um zu zeigen, dass \(y = -36x - 36\) die Gleichung der Tangente an \(G_{f}\) im Punkt \(B\) beschreibt (und nicht einer beliebigen Geraden), muss zusätzlich nachgewiesen werden, dass \(G_{f}\) an der Stelle \(x = -1\) die Steigung \(-36\) hat.
Es müssen also folgende Gleichungen erfüllt sein:
I) \(\textcolor{#cc071e}{f(-1) = t(-1)}\) und
II) \(\textcolor{#0087c1}{f'(-1) = -36}\)
Der \(y\)-Acshenabschnitt \(-36\) muss nicht bestätigt werden, da Bedingung I die Gültigkeit der Gleichung \(y = -36x - 36\) voraussetzt.
Nachweis, dass \(B\) ein gemeinsamer Punkt von \(G_{f}\) und \(t\) ist:
\[f(x) = -x^{3} + 9x^{2} - 15x - 25\]
\[t \colon y = -36x - 36\]
\[\begin{align*}f(-1) &= -(-1)^{3} + 9 \cdot (-1)^{2} - 15 \cdot (-1) - 25 \\[0.8em] &= 1 + 9 + 15 - 25 \\[0.8em] &= 0 \end{align*}\]
\[t(-1) = -36 \cdot (-1) - 36 = 0\]
\[\Longrightarrow \quad f(-1) = t(-1) = 0\]
Also ist der Punkt \(B(-1|f(-1))\) gemeinsamer Punkt der Graphen \(G_{f}\) und \(t\).
Nachweis, dass \(G_{f}\) an der Stelle \(x = -1\) die Steigung \(-36\) hat:
\(f'(x) = -3x^{2} + 18x - 15\) (vgl. Nachweis von Eigenschaft (1))
\[\begin{align*}f'(-1) &= -3 \cdot (-1)^{2} + 18 \cdot (-1) - 15 \\[0.8em] &= -3 - 18 - 15 \\[0.8em] &= -36 \end{align*}\]
Also kann die Tangente \(t\) an den Graphen der Funktion \(f\) im Punkt \(B(-1|f(-1))\) durch die Gleichung \(y = -36x - 36\) beschrieben werden.
2. Möglichkeit: Gleichung der Tangente \(t\) aufstellen
Anmerkung:
Dieser Lösungsansatz ist etwas aufwendiger, da auch der \(y\)-Acshenabschnitt der Gleichung der Tangente \(t\) zu berechnen ist.
Zunächst wird die \(y\)-Koordinate des Punktes \(B\) berechnet:
\[\begin{align*}f(-1) &= -(-1)^{3} + 9 \cdot (-1)^{2} - 15 \cdot (-1) - 25 \\[0.8em] &= 1 + 9 + 15 - 25 \\[0.8em] &= 0 \end{align*}\]
\[\Longrightarrow \quad B(-1|0)\]
Der Ansatz der Gleichung der Tangente \(t\) kann mit der allgemeinen Geradengleichung erfolgen.
Allgemeine Geradengleichung
\[y = mx + t\]
Wobei \(m\) die Steigung und \(t\) der \(y\)-Achsenabschnitt der Geraden ist.
\[t \colon y = mx + c\]
Tangentensteigung berechnen:
Die erste Ableitung \(f'\) beschreibt die Steigung einer Tangente an den Graphen von \(f\).
\(f'(x) = -3x^{2} + 18x - 15\) (vgl. Nachweis von Eigenschaft (1))
Anwendung der Differetialrechnung:
Steigung \(m_{T}\) einer Tangente \(T\) an den Graphen einer Funktion \(f\) im Punkt \(P\,(\,x_0\,|\,f(x_0)\,)\)
\[m_{T} = f'(x_0)\]
(vgl. Merkhilfe)
\[\begin{align*}m &= f'(-1) \\[0.8em] &= -3 \cdot (-1)^{2} + 18 \cdot (-1) - 15 \\[0.8em] &= -36\end{align*}\]
\[\Longrightarrow \quad t \colon y = -36x + c\]
\(y\)-Achsenabschnitt \(c\) berechnen:
Hierfür werden die Koordinaten des (Berühr)Punktes \(B\) in die Gleichung der Tangente \(t\) eingesetzt und diese nach \(c\) aufgelöst.
\[\begin{align*} B \in t \colon 0 &= -36 \cdot (-1) + c \\[0.8em] 0 &= 36 + c &&| -36 \\[0.8em] -36 &= c \end{align*}\]
\[\Longrightarrow \quad t \colon y = -36x + -36\]
