Die Kugel rollt nun den Holzkörper hinab. Im Modell bewegt sich der Kugelmittelpunkt vom Punkt \(M\) aus parallel zur Kante \([CB]\) auf einer Geraden \(g\). Geben Sie eine Gleichung von \(g\) an und berechnen Sie im Modell die Länge des Wegs, den der Kugelmittelpunkt zurücklegt, bis die Kugel die \(x_1x_2\)-Ebene berührt.
(5 BE)
Lösung zu Teilaufgabe g
![Strecke [MM'], die der Kugelmittelpunkt zurücklegt, bis die Kugel die x₁x₂-Ebene berührt.](/images/stories/B2012_G_II/B2012_G_II_g.png "Grafik zur Lösung der Teilaufgabe g - Geometrie II - Mathematik Abitur Bayern 2012")
Der Weg, den der Kugelmittelpunkt zurücklegt, bis die Kugel die \(\,x_1x_2\)-Ebene berührt, ist gleich der Länge der Strecke \(\,[MM']\,\). Wobei \(M'\) der Mittelpunkt der die \(x_1x_2\)-Ebene berührenden Kugel sei.
Gleichung der Geraden \(g\)
\[M \in g\,, \quad g \parallel [CB] \quad \Longrightarrow \quad g\,\colon \enspace \overrightarrow{X} = \overrightarrow{M} + \mu \cdot \overrightarrow{CB}\,, \quad \mu \in \mathbb R\]
Richtungsvektor von \(g\) bestimmen:
\[\overrightarrow{CB} = \overrightarrow{B} - \overrightarrow{C} = \begin{pmatrix} 10 \\ 8 \\ 0 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 10 \\ 4 \\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 4 \\ -3 \end{pmatrix}\]
\[g\,\colon \enspace \overrightarrow{X} = \begin{pmatrix} 5 \\ 6{,}5 \\ 3 \end{pmatrix} + \mu \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 4 \\ -3 \end{pmatrix}\]
Länge der Strecke \([MM']\)
\[M' \in g \quad \Longrightarrow \quad \overrightarrow{M'} = \begin{pmatrix} 5 \\ 6{,}5 \\ 3 \end{pmatrix} + \mu \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 4 \\ -3 \end{pmatrix}\]
Der Abstand des Kugelmittelpunktes \(M'\) von der \(x_1x_2\)-Ebene ist gleich dem Radius r der Kugel.
\[\Longrightarrow \quad \overrightarrow{M'} = \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ 1{,}5 \end{pmatrix}\]
\[\begin{align*}\Longrightarrow \quad 3 - 3\mu &= 1{,}5 & &| - 3 \\[0.8em] -3\mu &= -1{,}5 & &| : -3 \\[0.8em] \mu &= 0{,}5 \end{align*}\]
Parameterwert \(\mu = 0{,}5\) in \(g\) einsetzen:
\[\overrightarrow{M'} = \begin{pmatrix} 5 \\ 6{,}5 \\ 3 \end{pmatrix} + 0{,}5 \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 4 \\ -3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 \\ 8{,}5 \\ 1{,}5 \end{pmatrix}\]
Länge der Strecke \([MM']\) berechnen:
\[M\,(5|6{,}5|3)\,, \quad M'\,(5|8{,}5|1{,}5)\]
Betrag eines Vektors
\[ \vert \overrightarrow{a} \vert = \sqrt{\overrightarrow{a} \circ \overrightarrow{a}} = \sqrt{{a_1}^2 + {a_2}^2 + {a_3}^2}\]
(vgl. Merkhilfe)
\[\begin{align*}\overline{MM'} &= \vert \overrightarrow{MM'} \vert \\[0.8em] &= \left| \overrightarrow{M'} - \overrightarrow{M} \right| \\[0.8em] &= \left| \begin{pmatrix} 5 \\ 8{,}5 \\ 1{,}5 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 5 \\ 6{,}5 \\ 3 \end{pmatrix} \right| \\[0.8em] &= \left| \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ -1{,}5 \end{pmatrix} \right| \\[0.8em] &= \sqrt{0^2 + 2^2 + (-1{,}5)^2} \\[0.8em] &= \sqrt{6{,}25} \\[0.8em] &= 2{,}5 \end{align*}\]
Die Länge des Weges, den der Kugelmittelpunkt zurücklegt, bis die Kugel die \(x_1x_2\)-Ebene berührt, beträgt 2,5 LE (Längeneinheiten).
