Die südliche Außenwand des Pavillons liegt im Modell in einer Ebene \(E\). Bestimmen Sie eine Gleichung von \(E\) in Normalenform.

(mögliches Ergebnis: \(E\;\colon\, 4x_2 + 3x_3 - 48 = 0\)) 

(4 BE)

Lösung zu Teilaufgabe 1b

 

Das Dreieck BCS beschreibt die südliche Außenwand des Pavillons und repräsentiert somit die Ebene E

Das Dreieck \(BCS\) beschreibt die südliche Außenwand des Pavillons (siehe Angabe) und repräsentiert somit die Ebene \(E\).

Ebenengleichung in Normalenform

Ebenengleichung in Normalenform (vgl. Merkhilfe)

Jeden Ebene lässt sich durch eine Gleichung in Normalenform beschreiben. Ist \(A\) ein beliebiger Aufpunkt der Ebene \(E\) und \(\overrightarrow{n}_{E}\) ein Normalenvektor von \(E\), so erfüllt jeder Punkt \(X\) der Ebene \(E\) folgende Gleichungen:

Normalenform in Vektordarstellung

\[E \colon \overrightarrow{n}_{E} \circ (\overrightarrow{X} - \overrightarrow{A}) = 0\]

Veranschaulichung: Ebenengleichung in Normalenform in Vektordarstellung

Normalenform in Koordinatendarstellung

\[E \colon n_{1}x_{1} + n_{2}x_{2} + n_{3}x_{3} + n_{0} = 0\]

mit \(n_{0} = -(\overrightarrow{n}_{E} \circ \overrightarrow{A}) = - \: n_{1}a_{1} - n_{2}a_{2} - n_{3}a_{3}\)

\(n_{1}\), \(n_{2}\) und \(n_{3}\): Koordinaten eines Normalenvektors \(\overrightarrow{n}_{E}\)

Richtungsvektoren der Ebene \(E\) bestimmen:

Z.B. sind \(\overrightarrow{BC}\) und \(\overrightarrow{BS}\) zwei linear unabhängige Vektoren der Ebene \(E\).

 

\[B\,(12|12|0)\,, \enspace C\,(0|12|0)\,, \enspace S\,(6|6|8)\]

 

\[\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{C} - \overrightarrow{B} = \begin{pmatrix} 0 \\ 12 \\ 0 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 12 \\ 12 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 12 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} = 12 \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}\]

\[\Longrightarrow \quad \overrightarrow{u}_E = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}\]

 

\[\overrightarrow{BS} = \overrightarrow{S} - \overrightarrow{B} = \begin{pmatrix} 6 \\ 6 \\ 8 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 12 \\ 12 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -6 \\ -6 \\ 8 \end{pmatrix} = -2 \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ 3 \\ -4 \end{pmatrix} \]

\[\Longrightarrow \quad \overrightarrow{v}_E = \begin{pmatrix} 3 \\ 3 \\ -4 \end{pmatrix}\]

 

Normalenvektor \(\overrightarrow{n}_E\) der Ebene \(E\) bestimmen:

Vektorprodukt

Vektorprodukt (Kreuzprodukt)

Das Vektorprodukt \(\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b}\) zweier Vektoren \(\overrightarrow{a}\) und \(\overrightarrow{b}\) erzeugt einen neuen Vektor \(\overrightarrow{c} = \overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b}\) mit den Eigenschaften:

\(\overrightarrow{c}\) ist sowohl zu \(\overrightarrow{a}\) als auch zu \(\overrightarrow{b}\) senkrecht.

\[\overrightarrow{c} = \overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b} \quad \Longrightarrow \quad \overrightarrow{c} \perp \overrightarrow{a}, \enspace \overrightarrow{c} \perp \overrightarrow{b}\]

Der Betrag des Vektorprodukts zweier Vektoren \(\overrightarrow{a}\) und \(\overrightarrow{b}\) ist gleich dem Produkt aus den Beträgen der Vektoren \(\overrightarrow{a}\) und \(\overrightarrow{b}\) und dem Sinus des von ihnen eingeschlossenen Winkels \(\varphi\).

\[\vert \overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b} \vert = \vert \overrightarrow{a} \vert \cdot \vert \overrightarrow{b} \vert \cdot \sin{\varphi} \quad (0^{\circ} \leq \varphi \leq 180^{\circ})\]

Die Vektoren \(\overrightarrow{a}\), \(\overrightarrow{b}\) und \(\overrightarrow{c}\) bilden in dieser Reihenfolge ein Rechtssystem. Rechtehandregel: Weist \(\overrightarrow{a}\) in Richtung des Daumens und \(\overrightarrow{b}\) in Richtung des Zeigefingers, dann weist \(\overrightarrow{c} = \overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b}\) in Richtung des Mittelfingers.

Berechnung eines Vektorprodukts im \(\boldsymbol{\mathbb R^{3}}\) (vgl. Merkhilfe)

\[\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b} = \begin {pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end {pmatrix} \times \begin {pmatrix} b_1 \\ b_2 \\ b_3 \end {pmatrix} = \begin {pmatrix} a_2 \cdot b_3 - a_3 \cdot b_2 \\ a_3 \cdot b_1 - a_1 \cdot b_3 \\ a_1 \cdot b_2 - a_2 \cdot b_1 \end {pmatrix}\]

\[\begin{align*} \overrightarrow{u}_E \times \overrightarrow{v}_E &= \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 3 \\ 3 \\ -4 \end{pmatrix} \\[0.8em] &= \begin{pmatrix} 0 & \cdot & (-4) & - & 0 & \cdot & 3 \\ 0 & \cdot & 3 & - & 1 & \cdot & (-4) \\ 1 & \cdot & 3 & - & 0 & \cdot & 3 \end{pmatrix} \\[0.8em] &= \begin{pmatrix} 0 \\ 4 \\ 3 \end{pmatrix} \end{align*}\]

 

\[\Longrightarrow \quad \overrightarrow{n}_E = \begin{pmatrix} 0 \\ 4 \\ 3 \end{pmatrix}\]

 

Ebenengleichung in Normalenform in Vektordarstellung aufstellen:

Es sei \(C\,(0|12|0)\) der Aufpunkt der Ebene \(E\).

 

\[\begin {align*} \Longrightarrow \quad &E \, \colon \; \overrightarrow{n}_E \circ \left( \overrightarrow{X} - \overrightarrow{C} \right) = 0 \\[0.8em] &E \, \colon \; \begin {pmatrix} 0 \\ 4 \\ 3 \end {pmatrix} \circ \left[ \overrightarrow{X} - \begin {pmatrix} 0 \\ 12 \\ 0 \end {pmatrix} \right] = 0 \end {align*}\]

 

Ebenengleichung in Normalenform in Koordinatendarstellung bestimmen:

Skalarprodukt

Skalarprodukt

Unter dem Skalarprodukt \(\overrightarrow{a} \circ \overrightarrow{b}\) zweier Vektoren \(\overrightarrow{a}\) und \(\overrightarrow{b}\) versteht man das Produkt aus den Beträgen der beiden Vektoren und dem Kosinus des von den Vektoren eingeschlossenen Winkels \(\varphi\).

\[\overrightarrow{a} \circ \overrightarrow{b} = \vert \overrightarrow{a} \vert \cdot \vert \overrightarrow{b} \vert \cdot \cos{\varphi} \quad (0^{\circ} \leq \varphi \leq 180^{\circ})\]

Berechnung eines Skalarprodukts im \(\boldsymbol{\mathbb R^{3}}\) (vgl. Merkhilfe)

\[\overrightarrow{a} \circ \overrightarrow{b} = \begin{pmatrix} a_{1} \\ a_{2} \\ a_{3} \end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix} b_{1} \\ b_{2} \\ b_{3} \end{pmatrix} = a_{1}b_{1} + a_{2}b_{2} + a_{3}b_{3}\]

\[\begin {align*} \begin {pmatrix} 0 \\ 4 \\ 3 \end {pmatrix} \circ \left[ \overrightarrow{X} - \begin {pmatrix} 0 \\ 12 \\ 0 \end {pmatrix} \right] &= 0 \\[0.8em] 0 \cdot (x_1 - 0) + 4 \cdot (x_2 - 12) + 3 \cdot (x_3 - 0) &= 0 \\[0.8em] 4x_2 - 48 + 3x_3 &= 0 \end {align*}\]

 

\[E\,\colon\: 4x_2 + 3x_3 - 48 = 0\]