Zeigen Sie, dass es einen Wert von \(k > 0\) gibt, für den \(A(k)\) maximal ist. Berechnen Sie diesen Wert von \(k\) sowie den Flächeninhalt des zugehörigen Dreiecks \(P_{k}Q_{k}R\).

(6 BE)

Lösung zu Teilaufgabe 3b

 

\[A(k) \frac{2k}{x^{2} + 1}; \; k > 0\]

 

Nachweis, dass es einen Wert von \(k > 0\) gibt, für den \(A(k)\) maximal ist sowie Berechnung des Wertes von \(k\)

Es ist nachzuweisen, dass es einen Wert \(k > 0\) gibt, sodass \(A'(k) = 0\) gilt und zudem \(A'\) in der Umgebung dieses Werts von \(k\) das Vorzeichen von \(+\) nach \(-\) wechselt.

 

Anmerkung:

Die Vorgehensweise ist vergleichbar mit dem Nachweis eines Hochpunkts des Graphen einer gegebenen Funktion.

 

Erste Ableitung \(A'\) bilden:

Hierfür wird die Quotientenregel, die Summenregel sowie die Ableitung einer Potenzfunktion benötigt.

 

\[A(k) \frac{\textcolor{#0087c1}{2k}}{\textcolor{#cc071e}{x^{2} + 1}}; \; k > 0\]

Erste Ableitung elementarer Funktionen und Ableitungsregeln

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Ableitungen der Grundfunktionen

\[c' = 0 \enspace (c \in \mathbb R)\]

\[\left( x^r \right)' = r \cdot x^{r - 1} \enspace (r \in \mathbb R)\]

\[\left( \sqrt{x} \right)' = \frac{1}{2\sqrt{x}}\]

\[\left( \sin{x} \right)' = \cos{x}\]

\[\left( \cos{x} \right)' = -\sin{x}\]

 

\[\left( \ln{x} \right)' = \frac{1}{x}\]

\[\left( \log_{a}{x}\right)' = \frac{1}{x \cdot \ln{a}}\]

\[\left( e^x \right)' = e^x\]

\[\left(a^x \right)' = a^x \cdot \ln{a}\]

vgl. Merkhilfe

Faktorregel

\[\begin{align*}f(x) &= a \cdot \textcolor{#0087c1}{u(x)} \\[0.8em] f'(x) &= a \cdot \textcolor{#0087c1}{u'(x)}\end{align*}\]

Summenregel

\[\begin{align*}f(x) &= \textcolor{#0087c1}{u(x)} + \textcolor{#cc071e}{v(x)} \\[0.8em] f'(x) &= \textcolor{#0087c1}{u'(x)} + \textcolor{#cc071e}{v'(x)}\end{align*}\]

Produktregel

\[\begin{align*}f(x) &= \textcolor{#0087c1}{u(x)} \cdot \textcolor{#cc071e}{v(x)} \\[0.8em] f'(x) &= \textcolor{#0087c1}{u'(x)} \cdot \textcolor{#cc071e}{v(x)} + \textcolor{#0087c1}{u(x)} \cdot \textcolor{#cc071e}{v'(x)}\end{align*}\]

 

Quotientenregel

\[\begin{align*}f(x) &= \dfrac{\textcolor{#0087c1}{u(x)}}{\textcolor{#cc071e}{v(x)}} \\[0.8em] f'(x) &= \dfrac{\textcolor{#0087c1}{u'(x)} \cdot \textcolor{#cc071e}{v(x)} - \textcolor{#0087c1}{u(x)} \cdot \textcolor{#cc071e}{v'(x)}}{[\textcolor{#cc071e}{v(x)}]^{2}}\end{align*}\]

Kettenregel

\[\begin{align*}f(x) &= \textcolor{#0087c1}{u(}\textcolor{#cc071e}{v(x)}\textcolor{#0087c1}{)} \\[0.8em] f'(x) &= \textcolor{#0087c1}{u'(}\textcolor{#cc071e}{v(x)}\textcolor{#0087c1}{)} \cdot \textcolor{#cc071e}{v'(x)}\end{align*}\]

vgl. Merkhilfe

\[\begin{align*}A'(k) &= \frac{\textcolor{#0087c1}{2} \cdot (\textcolor{#cc071e}{k^{2} + 1}) - \textcolor{#0087c1}{2k} \cdot (\textcolor{#cc071e}{2k + 0})}{(\textcolor{#cc071e}{k^{2} + 1})^{2}} \\[0.8em] &= \frac{2k^{2} + 2 -4k^{2}}{(k^{2} + 1)^{2}} \\[0.8em] &= \frac{2 - 2k^{2}}{(k^{2} + 1)^{2}} \\[0.8em] &= \frac{2 \cdot (1 - k^{2})}{(k^{2} + 1)^{2}} \end{align*}\]

 

Die notwendige Bedingung für einen Wert \(k > 0\), sodass \(A(k)\) maximal ist, lautet: \(A'(k) = 0\).

Ein Quotient ist gleich Null, wenn der Zähler gleich Null ist.

 

\[\begin{align*}A'(k) = 0 \quad \Longrightarrow \quad 1 - k^{2} &= 0 &&| + k^{2} \\[0.8em] 1 &= k^{2} &&| \; \sqrt{\quad} \enspace (k > 0) \\[0.8em] 1 &= k \end{align*}\]

 

Prüfen, ob an der Stelle \(k = 1\) ein Maximum von \(A(k)\) vorliegt, beispielsweise mithilfe einer Vorzeichentabelle für \(A'\).

 

1. Möglichkeit: Vorzeichentabelle von \(A'\)

 

\[A'(k) = \frac{2 \cdot \textcolor{#cc071e}{(1 - k^{2})}}{\underbrace{(k^{2} + 1)^{2}}_{>\,0}}\]

 

Da der Wert des Nenners von \(A'\) stets größer Null ist, bestimmt der Faktor \(\textcolor{#cc071e}{(1 - k^{2})}\) des Zählers von \(A'\) den Vorzeichenwechsel von \(A'\) an der Stelle \(k = 1\).

\(k\) \(\textcolor{#cc071e}{0 < k < 1}\) \(1\) \(\textcolor{#cc071e}{x > 1}\)
\(\textcolor{#cc071e}{1 - k^{2}}\) \(\textcolor{#cc071e}{+}\) \(0\) \(\textcolor{#cc071e}{-}\)
\(A'(k)\) \(+\) \(\text{Maximum}\) \(-\)

 

Oder mithilfe von Testwerten:

\[\textcolor{#cc071e}{A'(0{,}5)} = \frac{2 \cdot \overbrace{(1 - 0{,}5^{2})}^{>\,0}}{\underbrace{(0{,}5^{2} + 1)^{2}}_{>\,0}} \textcolor{#cc071e}{> 0}\]

\[\textcolor{#cc071e}{A'(2)} = \frac{2 \cdot \overbrace{(1 - 2^{2})}^{<\,0}}{\underbrace{(2^{2} + 1)^{2}}_{>\,0}} \textcolor{#cc071e}{< 0}\]

 

Da \(\textcolor{#cc071e}{A'(1) = 0}\) gilt und zudem \(\textcolor{#cc071e}{A'}\) an der Stelle \(k = 1\) einen Vorzeichenwechsel von \(\textcolor{#cc071e}{+}\) nach \(\textcolor{#cc071e}{-}\) hat, ist \(\textcolor{#cc071e}{A(1)}\) maximal.

 

2. Möglichkeit: halbgraphischer Nachweis des Vorzeichenwechsels von \(A'\)

 

\[A'(k) = \frac{2 \cdot \textcolor{#cc071e}{(1 - k^{2})}}{\underbrace{(k^{2} + 1)^{2}}_{>\,0}}\]

 

Der quadratische Faktor \(\textcolor{#cc071e}{(1 - k^{2})}\) des Zählers bestimmt den Vorzeichenwechsel von \(A'\). Dieser Faktor kann durch die Parabel mit der Gleichung \(\textcolor{#cc071e}{y = -k^{2} + 1}\) veranschaulicht werden. Da \(k > 0\) gilt, genügt eine qualitative Skizze des entsprechenden Parabelasts unter Berücksichtigung der Nullstelle \(k = 1\) (vgl. Nullstelle \(k = 1\) von \(A'\)).

Da die Parabel mit der Gleichung \(\textcolor{#cc071e}{y = -k^{2} + 1}\) an der Nullstelle \(k = 1\) von \(\textcolor{#cc071e}{+}\) nach \(\textcolor{#cc071e}{-}\) verläuft, hat \(\textcolor{#cc071e}{A'}\) einen Vorzeichenwechsel von \(\textcolor{#cc071e}{+}\) nach \(\textcolor{#cc071e}{-}\). Folglich ist \(\textcolor{#cc071e}{A(1)}\) maximal.

Vorzeichenwechsel der Parabel mit der Gleichung y = -k² + 1 an der Nullstelle k = 1

 

3. Möglichkeit: Nachweis des Maximums mithilfe von \(A''\)

Diese Möglichkeit sei der Vollständigkeit halber aufgeführt. Sie ist zeitaufwendiger und deshalb in diesem Fall nicht zu empfehlen.

Art von Extrempunkten mithilfe der zweiten Ableitung nachweisen

Anwendung der Differentialrechnung:

Art von Extrempunkten mithilfe der zweiten Ableitung nachweisen

Ist \(f'(x_{0}) = 0\) und \(f''(x_{0}) > 0\), so hat der Graph \(G_{f}\) an der Stelle \(x_{0}\) ein relatives Minimum (Tiefpunkt).

Ist \(f'(x_{0}) = 0\) und \(f''(x_{0}) < 0\), so hat der Graph \(G_{f}\) an der Stelle \(x_{0}\) ein relatives Maximum (Hochpunkt).

Zweite Ableitung \(A''\) bilden:

Hierfür wird die Summenregel, die Faktorregel, die Quotientenregel und die Kettenregel sowie die Ableitung einer Potenzfunktion benötigt.

 

\[A'(k) = \frac{\textcolor{#0087c1}{2 \cdot (1 - k^{2})}}{\textcolor{#cc071e}{(k^{2} + 1)^{2}}}\]

Erste Ableitung elementarer Funktionen und Ableitungsregeln

\[\begin{align*}A''(k) &= \frac{\textcolor{#0087c1}{2 \cdot (0 - 2k)} \cdot \textcolor{#cc071e}{(k^{2} + 1)^{2}} - \textcolor{#0087c1}{2 \cdot (1 - k^{2})} \cdot \overbrace{\textcolor{#cc071e}{2\cdot(k^{2} + 1) \cdot 2k}}^{\text{Kettenregel}}}{\left[\textcolor{#cc071e}{(k^{2} + 1)^{2}}\right]^{2}} \\[0.8em] &= \frac{-4k \cdot (k^{2} +1)^{2} - 8k \cdot (1 - k^{2}) \cdot (k^{2} + 1)}{(k^{2} + 1)^{4}} \\[0.8em] &= \frac{\cancel{(k^{2} + 1)} \cdot \left[ (-4k) \cdot (k^{2} + 1) - 8k \cdot (1 - k^{2}) \right]}{(k^{2} + 1)^{\cancel{4}{3}}} \\[0.8em] &= \frac{-4k^{3} - 4k - 8k + 8k^{3}}{(k^{2} + 1)^{3}} \\[0.8em] &= \frac{4k^{3} - 12k}{(k^{2} + 1)^{3}} \\[0.8em] &= \frac{4k \cdot (k^{2} - 3)}{(k^{2} + 1)^{3}} \end{align*}\]

 

Vorzeichen von \(A''\) an der Stelle \(k = 1\) ermitteln:

Art von Extrempunkten mithilfe der zweiten Ableitung nachweisen

Anwendung der Differentialrechnung:

Art von Extrempunkten mithilfe der zweiten Ableitung nachweisen

Ist \(f'(x_{0}) = 0\) und \(f''(x_{0}) > 0\), so hat der Graph \(G_{f}\) an der Stelle \(x_{0}\) ein relatives Minimum (Tiefpunkt).

Ist \(f'(x_{0}) = 0\) und \(f''(x_{0}) < 0\), so hat der Graph \(G_{f}\) an der Stelle \(x_{0}\) ein relatives Maximum (Hochpunkt).

\[\textcolor{#cc071e}{A''(1)} = \frac{4 \cdot 1 \cdot \overbrace{(1^{2} - 3)}^{<\, 0}}{\underbrace{(1^{2} + 1)^{3}}_{> \,0}} \textcolor{#cc071e}{< 0}\]

\(\Longrightarrow \quad \textcolor{#cc071e}{A(1)}\) ist ein Maximum.

 

Berechnung des maximalen Flächeninhalts \(A(1)\) des Dreiecks \(P_{1}Q_{1}R\)

 

\[A(k) \frac{2k}{x^{2} + 1}\]

\[\textcolor{#e9b509}{k = 1}\]

 

\[A(\textcolor{#e9b509}{1}) = \frac{2 \cdot \textcolor{#e9b509}{1}}{\textcolor{#e9b509}{1}^{2} + 1} = \frac{2}{2} = 1\]