Abiturlösungen Mathematik Bayern 2021

Aufgaben mit ausführlichen Lösungen

2.3.1 Lagebeziehung von Geraden

2.3.1 Lagebeziehung von Geraden

Es gibt genau eine Kugel, auf der alle acht Eckpunkte des Körpers liegen. Ermitteln Sie die Koordinaten des Mittelpunkts dieser Kugel.

(4 BE)

Lösung zu Teilaufgabe g

 

Körper ABCDEFGH, Koordinatenachsen und Koordinatenebenen

Da der gesamte Körper sowohl symmetrisch bezüglich der \(x_{1}x_{3}\)-Ebene als auch bezüglich der \(x_{2}x_{3}\)-Ebene ist (vgl. Angabe), kann der Mittelpunkt \(M\) einer Kugel, auf der alle acht Eckpunkte des Körpers liegen, nur auf der \(x_{3}\)-Achse liegen.

 

\[\Rightarrow \enspace M(0|0|m)\]

 

Darstellung der Abstände der Punkte D und E vom Mittelpunkt M(0|0|m) der Kugel

Bedingung: Der Abstand eines Punktes der Grundfläche \(\textcolor{#0087c1}{ABCD}\) vom Mittelpunkt muss gleich dem Abstand eines Punktes des Quadrats \(\textcolor{#e9b509}{EFGH}\) vom Mittelpunkt sein, also beispielsweise \(\textcolor{#cc071e}{\vert\overrightarrow{MD}\vert} = \textcolor{#cc071e}{\vert\overrightarrow{ME}\vert}\).

\(A(5|5|0)\), \(E(2|0|4)\)

 

\[\overrightarrow{MD} = \overrightarrow{D} - \overrightarrow{M} = \begin{pmatrix} 5 \\ -5 \\ 0 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ m \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 \\ -5 \\ -m \end{pmatrix}\]

\[\overrightarrow{ME} = \overrightarrow{E} - \overrightarrow{M} = \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 4 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ m \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 4 - m \end{pmatrix}\]

Betrag eines Vektors

Betrag eines Vektors

\[ \vert \overrightarrow{a} \vert = \sqrt{\overrightarrow{a} \circ \overrightarrow{a}} = \sqrt{{a_1}^2 + {a_2}^2 + {a_3}^2}\]

(vgl. Merkhilfe)

\[\begin{align*} \textcolor{#cc071e}{\vert\overrightarrow{MD}\vert} &= \textcolor{#cc071e}{\vert\overrightarrow{ME}\vert} \\[0.8em] \left| \begin{pmatrix} 5 \\ -5 \\ -m \end{pmatrix} \right| &= \left| \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 4 - m \end{pmatrix} \right| \\[0.8em] \sqrt{5^{2} +(-5)^{2} + (-m)^{2}} &= \sqrt{2^{2} + 0^{2} + (4 - m)^{2}}&&| \; (\dots)^{2}\;\text{(Quadrieren)} \\[0.8em] 50 + m^{2} &= 4 + 16 - 8m + m^{2}&&| -m^{2} + 8m - 50 \\[0.8em] 8m &= -30&&| : (-30) \\[0.8em] m &= -3{,}75\end{align*}\]

 

\[\Rightarrow \enspace M(0|0|-3{,}75)\]