Auf der Gerade durch \(P\) und \(Q\) liegen die Punkte \(R\) und \(S\) symmetrisch bezüglich \(E\); dabei liegt \(R\) bezüglich \(E\) auf der Seite wie \(P\). Der Abstand von \(R\) und \(S\) ist doppelt so groß wie der Abstand von \(P\) und \(Q\).

Bestimmen Sie die Koordinaten von \(R\).

(2 BE)

Lösung zu Teilaufgabe b

 

Die Koordinaten von \(R\) lassen sich durch Vektoraddition bestimmen. Beispielsweise wie folgt:

 

Bestimmung der Koordinaten des Punktes R durch Vektoraddition, Möglichkeit 1Planskizze optional 

\(P(1|2|3)\), \(\textcolor{#0087c1}{\overrightarrow{PQ} = \begin{pmatrix} 6 \\ 0 \\ 8 \end{pmatrix}}\) (vgl. Teilaufgabe a)

 

\[\overrightarrow{R} = \overrightarrow{P} + \left( \textcolor{#0087c1}{-\frac{1}{2} \cdot \overrightarrow{PQ}}\right) = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} \textcolor{#0087c1}{-} \textcolor{#0087c1}{\frac{1}{2} \cdot \begin{pmatrix} 6 \\ 0 \\ 8 \end{pmatrix}} = \begin{pmatrix} -2 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix}\]

 

oder

  

Bestimmung der Koordinaten des Punktes R durch Vektoraddition, Möglichkeit 2Planskizze optional

\(\textcolor{#cc071e}{\overrightarrow{M} = \begin{pmatrix} 4 \\ 2 \\ 7 \end{pmatrix}}\), \(\textcolor{#0087c1}{\overrightarrow{PQ} = \begin{pmatrix} 6 \\ 0 \\ 8 \end{pmatrix}}\) (vgl. Teilaufgabe a)

 

 

\[\overrightarrow{R} = \textcolor{#cc071e}{\overrightarrow{M}} + \left( \textcolor{#0087c1}{-\overrightarrow{PQ}} \right) = \textcolor{#cc071e}{\begin{pmatrix} 4 \\ 2 \\ 7 \end{pmatrix}} \textcolor{#0087c1}{-} \textcolor{#0087c1}{\begin{pmatrix} 6 \\ 0 \\ 8 \end{pmatrix}} = \begin{pmatrix} -2 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix}\]

 

oder

 

Bestimmung der Koordinaten des Punktes R durch Vektoraddition, Möglichkeit 3Planskizze optional

\(Q(7|2|11)\), \(\textcolor{#0087c1}{\overrightarrow{PQ} = \begin{pmatrix} 6 \\ 0 \\ 8 \end{pmatrix}}\) (vgl. Teilaufgabe a)

 

\[\begin{align*}\overrightarrow{R} &= \overrightarrow{Q} + \left( \textcolor{#0087c1}{-\frac{3}{2} \cdot \overrightarrow{PQ}}\right) = \begin{pmatrix} 7 \\ 2 \\ 11 \end{pmatrix} \textcolor{#0087c1}{-} \textcolor{#0087c1}{\frac{3}{2} \cdot \begin{pmatrix} 6 \\ 0 \\ 8 \end{pmatrix}} \\[0.8em] &= \begin{pmatrix} 7 \\ 2 \\ 11 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 9 \\ 0 \\ 12 \end{pmatrix} =  \begin{pmatrix} -2 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix}\end{align*}\]