Durchläuft \(k\) alle Werte von \(-1\) bis \(1\), dann dreht sich das Dreieck \(OR_kS\) um die Strecke \([OS]\). Dabei entsteht ein Körper. Beschreiben Sie die Form des entstehenden Körpers und bestimmen Sie das Volumen dieses Körpers.

(3 BE)

Lösung zu Teilaufgabe h

Der Körper hat die Form eines entlang seiner Höhe halbierten Kreiskegels.

\[V = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3} \cdot 3^2 \cdot \pi \cdot 4 = 6\pi\]

Ausführliche Erklärung (nicht verlangt)

Die Abbildung zeigt Punkte \(R_k\) für \(k \in [-1;1]\) in Schritten von \(0{,}1\) sowie beispielhaft den Schnittwinkel \(\varphi\) der Ebene \(E_1\) (Seitenfläche \(BCS\)) und der Gerade \(OS\) (vgl. Teilaufgabe g).

Da der Schnittwinkel \(\varphi\) der Gerade \(OS\) und der Ebenenschar \(E_k\) unabhängig von \(k\) ist (vgl. Teilaufgabe f), haben alle Punkte \(R_k\) vom Koordinatenursprung den gleichen Abstand. Der Punkt \(R_1\) liegt auf der Grundlinie \([BC]\) mit \(B(\textcolor{#e9b509}{3}|-3|0)\) und \(C(\textcolor{#e9b509}{3}|3|0)\) (vgl. Teilaufgabe g). Die Punkte \(R_k\) haben somit von \(O\) den Abstand \(\textcolor{#e9b509}{3}\).

Dreht sich das Dreieck \(OR_kS\) um die Strecke \([OS]\) mit \(S(0|0|\textcolor{#0087c1}{4})\), entsteht ein halbierter gerader Kreiskegel mit dem Radius \(\overline{OR_k} = \textcolor{#e9b509}{3}\) und der Höhe \(\overline{OS} = \textcolor{#0087c1}{4}\).

Volumen des Kreiskegels:

\[V = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3} \cdot \textcolor{#e9b509}{3}^2 \cdot \pi \cdot \textcolor{#0087c1}{4} = 6\pi\]