Die Ebene \(M\,\colon\; x_1 - x_2 + x_3 = 3\) schneidet den Würfel in einem regulären Sechseck.
Begründen Sie, dass \(M\) parallel zu \(L\) ist. Geben Sie die Schnittpunkte von \(M\) mit der \(x_1\)-Achse sowie mit der \(x_3\)-Achse an und weisen Sie nach, dass \(M\) den Mittelpunkt der Strecke \([BC]\) enthält.
(4 BE)
Lösung zu Teilaufgabe c
\[L\,\colon \, x_1 - x_2 + x_3 = 6\]
\[M\,\colon \, x_1 - x_2 + x_3 = 3\]
Begründung, dass \(M\) parallel zu \(L\) ist
Lagebeziehung von Ebenen
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\(E \colon \overrightarrow{n}_{E} \circ (\overrightarrow{X} - \overrightarrow{A}) = 0 \enspace\) und \(\enspace F \colon \overrightarrow{n}_{F} \circ (\overrightarrow{X} - \overrightarrow{B}) = 0\) oder \(E \colon \overrightarrow{X} = \overrightarrow{A} + \lambda \cdot \overrightarrow{u} + \mu \cdot \overrightarrow{v}; \; \lambda, \mu \in \mathbb R \enspace\) und \(\enspace F \colon \overrightarrow{n}_{F} \circ (\overrightarrow{X} - \overrightarrow{B}) = 0\)
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\(\overrightarrow{n}_{E} = k \cdot \overrightarrow{n}_{F}, \; k \in \mathbb R\) \(\Rightarrow \; \overrightarrow{n}_{E} \parallel \overrightarrow{n}_{F}\) oder \(\overrightarrow{u} \circ \overrightarrow{n}_{F} = 0\) und \(\overrightarrow{v} \circ \overrightarrow{n}_{F} = 0\) \(\Leftrightarrow \; \overrightarrow{u} \perp \overrightarrow{n}_{F}\) und \(\overrightarrow{v} \perp \overrightarrow{n}_{F}\)
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\(\overrightarrow{n}_{E} \neq k \cdot \overrightarrow{n}_{F}, \; k \in \mathbb R\) \(\Rightarrow \; \overrightarrow{n}_{E}\nparallel \overrightarrow{n}_{F}\) oder \(\overrightarrow{u} \circ \overrightarrow{n}_{F} \neq 0\) und/oder \(\overrightarrow{v} \circ \overrightarrow{n}_{F} \neq 0 \)
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\(B \in E\) oder \(A \in F\) \(\Longrightarrow \enspace\)\(E\) und \(F\) sind identisch.
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\(B \notin E\) oder \(A \notin B\) \(\Longrightarrow \enspace\)\(E\) und \(F\) sind (echt) parallel (ggf. Abstand berechnen).
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\(\Longrightarrow \enspace\)\(E\) und \(F\) schneiden sich in einer Schnittgeraden \(s\) unter dem Schnittwinkel \(\alpha\) (ggf. Gleichung der Schnittgeraden ermitteln und/oder Schnittwinkel berechnen.) |
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\[\overrightarrow{n}_L = \overrightarrow{n}_M = \begin {pmatrix} 1 \\ -1 \\ 1 \end {pmatrix}\]
Es gibt keinen Punkt \(P\,(p_1|p_2|p_3)\) mit der Eigenschaft \(\,P \in L\) und \(P \in M\).
\[\left. \begin{align*}p_1 - p_2 + p_3 &= 6 \\[0.8em] \wedge \quad p_1 - p_2 + p_3 &= 3 \end{align*} \right\rbrace \enspace \text{keine Lösung}\]
Es lässt sich leicht nachweisen, dass einer der Punkte \(B\), \(E\) und \(G\), die in der Ebene \(L\) liegen (siehe Teilaufgabe a), nicht in der Ebene \(M\) liegt.
\[B\,(6|0|0)\,,E\,(0|0|6)\,, G\,(6|6|6) \in L\]
\[B \notin M\,\colon\, 6 - 0 + 0 \neq 3 \]
\[E \notin M\,\colon\, 0 - 0 + 6 \neq 3\]
\[G \notin M\,\colon\, 6 - 6 + 6 \neq 3\]
\[\Longrightarrow \quad M \parallel L\]
Die Ebene \(M\) ist echt parall zur Ebene \(L\).
Um zu zeigen, dass die beiden Ebenen \(L\) und \(M\) echt parallel zueinander sind, kann als Alternative auch der Abstand \(d\,(L;M)\) der beiden Ebenen nachgewiesen werden.
\(B\,(6|0|0)\,,E\,(0|0|6)\,, G\,(6|6|6) \in L\) (siehe Teilaufgabe a)
\[\Longrightarrow \quad d\,(L;M) = d\,(B;M) = d\,(E;M) = d\,(G;M)\]
Abstand eines Punktes von einer Ebene
Für den Abstand \(d(P;E)\) eines Punktes \(P(p_{1}|p_{2}|p_{3})\) zu einer in der Hesseschen Normalenform (HNF) vorliegenden Ebene \(E\) gilt:
Vektordarstellung
\[E \colon \overrightarrow{n}^{0}_{E} \circ (\overrightarrow{X} - \overrightarrow{A}) = 0 \enspace (\text{HNF})\]
\[d(P;E) = \left| \overrightarrow{n}^{0}_{E} \circ (\overrightarrow{P} - \overrightarrow{A}) \right|\]
Koordinatendarstellung
\[E \colon \frac{n_{1}x_{1} + n_{2}x_{2} + n_{3}x_{3} + n_{0}}{\sqrt{n_{1}^{2} + n_{2}^{2} + n_{3}^{2}}} = 0 \enspace (\text{HNF})\]
\[d(P;E) = \left| \frac{n_{1}p_{1} + n_{2}p_{2} + n_{3}p_{3} + n_{0}}{\sqrt{n_{1}^{2} + n_{2}^{2} + n_{3}^{2}}} \right|\]
Dabei ist \(\overrightarrow{n}^{0}_{E} = \dfrac{\overrightarrow{n}_{E}}{\vert \overrightarrow{n}_{E} \vert}\) der Einheitsvektor des Normalenvektors \(\overrightarrow{n}_{E}\) der Ebene \(E\).
\[M\,\colon \, x_1 - x_2 + x_3 = 3 \quad \Longrightarrow \quad \overrightarrow {n}_M = \begin {pmatrix} 1 \\ -1 \\ 1 \end {pmatrix}\]
Betrag des Normalenvektors der Ebene \(M\) berechnen:
\[\vert \overrightarrow{n}_M \vert = \left| \begin {pmatrix} 1 \\ -1 \\ 1 \end {pmatrix} \right| = \sqrt{1^2 + (-1)^2 + 1^2} = \sqrt{3}\]
Betrag eines Vektors
\[ \vert \overrightarrow{a} \vert = \sqrt{\overrightarrow{a} \circ \overrightarrow{a}} = \sqrt{{a_1}^2 + {a_2}^2 + {a_3}^2}\]
(vgl. Merkhilfe)
\[M^{HNF}\,\colon \, \frac{x_1 - x_2 + x_3 - 3}{\sqrt{3}} = 0\]
Abstand \(d(L;M)\) berechnen:
\[B\,(6|0|0)\,,E\,(0|0|6)\,,G\,(6|6|6) \in L\]
\[d\,(L;M) = d\,(B; M) = \left| \frac{6 - 0 + 0 - 3}{\sqrt{3}} \right| = \frac{3}{\sqrt{3}} = \sqrt{3}\]
oder
\[d\,(L;M) = d\,(E;M) = \left| \frac{0 - 0 + 6 - 3}{\sqrt{3}} \right| = \frac{3}{\sqrt{3}} = \sqrt{3}\]
oder
\[d\,(L;M) = d\,(G;M) = \left| \frac{6 - 6 + 6 - 3}{\sqrt{3}} \right| = \frac{3}{\sqrt{3}} = \sqrt{3}\]
\(\Longrightarrow \quad M \parallel L\;\) mit \(\;d\,(L;M) = \sqrt{3}\)
Die Ebene \(M\) ist echt parall zur Ebene \(L\).
Schnittpunkte von \(M\) mit der \(x_{1}\)-Achse sowie mit der \(x_{3}\)-Achse
\[M\,\colon \, x_1 -x_2 + x_3 = 3\]
Schnittpunkt \(S_1\) der Ebene \(M\) mit der \(x_1\)-Achse:
\[x_1\text{-Achse}\, \colon \, \overrightarrow X = \lambda \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}\]
\[\begin{align*}M \cap x_1\text{-Achse}\, \colon \, \lambda - 0 + 0 &= 3 \\[0.8em] \lambda &= 3\end{align*}\]
\[S_1 \in x_1\text{-Achse}\, \colon \, \overrightarrow S_1 = 3 \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \quad \Longrightarrow \quad S_1(3|0|0)\]
Schnittpunkt \(S_3\) der Ebene \(M\) mit der \(x_3\)-Achse:
\[x_3\text{-Achse}\, \colon \, \overrightarrow X = \mu \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}\]
\[\begin{align*}M \cap x_3\text{-Achse}\, \colon \, 0 - 0 + \mu &= 3 \quad \\[0.8em] \mu &= 3 \end{align*}\]
\[S_3 \in x_3\text{-Achse}\, \colon \, \overrightarrow S_3 = 3 \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix} \quad \Longrightarrow \quad S_3(0|0|3)\]
Nachweis, das \(M\) den Mittelpunkt der Strecke \([BC]\) enthält
Mittelpunkt einer Strecke
Für den Ortsvektor \(\overrightarrow{M}\) des Mittelpunkts \(M\) einer Strecke \([AB]\) gilt:
\[\overrightarrow{M} = \frac{1}{2} \left( \overrightarrow{A} + \overrightarrow{B} \right)\]
\[B\,(6|0|0)\,, \enspace C\,(6|6|0)\]
\[\overrightarrow M_{[BC]} = \frac{1}{2} \left(\overrightarrow{B }+ \overrightarrow{C}\right) = \frac{1}{2} \left[ \begin {pmatrix} 6 \\ 0 \\ 0 \end {pmatrix} + \begin {pmatrix} 6 \\ 6 \\ 0 \end {pmatrix} \right] = \begin {pmatrix} 6 \\ 3 \\ 0 \end {pmatrix} \quad \Longrightarrow \quad M_{[BC]}(6|3|0)\]
\[M\,\colon \, x_1 -x_2 + x_3 = 3\]
\[M_{[BC]} \in M\, \colon \, 6 - 3 + 0 = 3 \enspace (\text{w})\]
