Abiturlösungen Mathematik Bayern 2011 G8 Analysis II
Skizzieren Sie den Graphen der in \(\mathbb R\) definierten Funktion \(f : x \mapsto 4 - x^2\). Berechnen Sie den Inhalt des Flächenstücks, das der Graph von \(f\) mit der \(x\)-Achse einschließt.
(5 BE)
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Geben Sie die maximale Definitionsmenge der Funktion \(f : x \mapsto 3\sqrt{x}\;\) an und bestimmen Sie den Term derjenigen Stammfunktion von \(f\), deren Graph den Punkt \((1|4)\) enthält.
(4 BE)
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Betrachtet wird die Funktion \(\displaystyle f : x \mapsto \frac{\sin x}{x^2}\) mit Definitionsmenge \(\mathbb R \backslash \{0\}\).
Geben Sie die Nullstellen von \(f\) an.
(3 BE)
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Ermitteln Sie das Symmetrieverhalten des Graphen von \(f\) und geben Sie den Grenzwert von \(f\) für \(x \to +\infty\) an.
(3 BE)
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- Hauptkategorie: Analysis II
Bestimmen Sie den Term der Ableitung von \(f\).
(2 BE)
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- Hauptkategorie: Analysis II
Geben Sie den Term einer gebrochen-rationalen Funktion \(f\) mit Definitionsmenge \(\mathbb R \backslash \{-1\}\) an, deren Graph die Gerade mit der Gleichung \(y = 2\) als Asymptote besitzt und in \(x = -1\) eine Polstelle ohne Vorzeichenwechsel hat.
(3 BE)
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Gegeben ist die in \(\mathbb R\) definierte Funktion \(f : x \mapsto 6 \cdot e^{-0{,}5x} + x\). Der Graph von \(f\) wird mit \(G_f\) bezeichnet.
Untersuchen Sie das Monotonie- und das Krümmungsverhalten von \(G_f\). Bestimmen Sie Lage und Art des Extrempunkts \(E(x_E|y_E)\) von \(G_f\).
(zur Kontrolle: \(x_E = 2 \cdot \ln 3; \enspace f''(x) = 1{,}5 \cdot e^{-0{,}5x}\))
(10 BE)
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Geben Sie das Verhalten von \(f\) für \(x \to -\infty\) an. Machen Sie plausibel, dass \(G_f\) für \(x \to +\infty\) die Gerade mit der Gleichung \(y = x\) als schräge Asymptote besitzt.
(3 BE)
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- Hauptkategorie: Analysis II
Bestimmen Sie die Gleichung der Tangente an \(G_f\) im Punkt \((0|6)\). Skizzieren Sie \(G_f\) unter Verwendung der bisherigen Ergebnisse in ein geeignet anzulegendes Koordinatensystem.
(6 BE)
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- Hauptkategorie: Analysis II
Gegeben ist die in \(\mathbb R\) definierte Funktion \(h : x \mapsto 6 \cdot e^{-0{,}5x} + 1{,}5\). Die Abbildung zeigt den in \(\mathbb R\) streng monoton fallenden Graphen \(G_h\) von \(h\) sowie dessen Asymptote, die durch die Gleichung \(y = 1{,}5\) gegeben ist.
Beschreiben Sie, wie \(G_h\) aus dem Graphen der in \(\mathbb R\) definierten natürlichen Exponentialfunktion \(x \mapsto e^x\) hervorgeht.
(4 BE)
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- Hauptkategorie: Analysis II
Für \(x \geq 0\) beschreibt die Funktion \(h\) modelhaft die zeitliche Entwicklung des momentanen Schadstoffausstoßes einer Maschine. Dabei ist \(x\) die seit dem Start der Maschine vergangene Zeit in Minuten und \(h(x)\) die momentane Schadstoffausstoßrate in Milligramm pro Minute.
Geben Sie in diesem Sachzusammenhang die Bedeutung des Monotonieverhaltens von \(G_h\) sowie des Grenzwerts von \(h\) für \(x \to +\infty\) an.
(3 BE)
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- Hauptkategorie: Analysis II
Bestimmen Sie den Inhalt des Flächenstücks, das \(G_h\), die Koordinatenachsen und die Gerade mit der Gleichung \(x = 5\) einschließen. Interpretieren Sie das Ergebnis im Sachzusammenhang.
(6 BE)
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- Hauptkategorie: Analysis II
Gegeben ist die Schar der Funktionen \(f_a : x \mapsto 6 \cdot e^{-0{,}5x} - a \cdot x\) mit \(a \in \mathbb R^+\) und Definitionsmenge \(\mathbb R\).
Weisen Sie nach, dass die Graphen aller Funktionen der Schar die \(y\)-Achse im selben Punkt schneiden und in \(\mathbb R\) streng monoton fallend sind. Zeigen Sie, dass \(\lim \limits_{x \, \to \, +\infty} f_a(x) = -\infty\) gilt.
(5 BE)
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- Hauptkategorie: Analysis II
Aus den Ergebnissen der Aufgabe 3a ergibt sich, dass jede Funktion der Schar genau eine Nullstelle besitzt. Bestimmen Sie für diese Nullstelle in Abhängigkeit von \(a\) einen Näherungswert \(x_1\), indem Sie den ersten Schritt des Newton-Verfahrens mit dem Startwert \(x_0 = 0\) durchführen.
(3 BE)
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- Hauptkategorie: Analysis II
2023 Christian Rieger・mathelike
