Nullstellen der Sinusfunktion

  • Aufgabe 1

    Geben Sie von folgenden Funktionen jeweils die maximale Definitionsmenge an und bestimmen Sie jeweils die Nullstelle(n). Bilden Sie jeweils die Ableitungsfunktion und vereinfachen Sie soweit wie möglich.

    a) \(f(x) = 2\ln{(3\sqrt{x})}\)

    b) \(g(x) = xe^{4 - 3x} + \dfrac{x^{2}}{e^{3x - 4}}\)

    c) \(h(x) = x^{3} \cdot \sin{\left( \dfrac{\pi}{3}x \right)}\)

     

    Aufgabe 2

    Gegeben ist die Funktion \(f \colon x \mapsto \ln{\left( -\dfrac{3}{x} \right)}\). Der Graph der Funktion \(f\) wird mit \(G_{f}\) bezeichnet.

    a) Bestimmen Sie das Verhalten von \(f\) an den Rändern des Definitionsbereichs \(D_{f}\).

    b) Zeigen Sie durch Rechnung, dass \(G_{f}\) in \(D_{f}\) linksgekrümmt ist.

     

    Aufgabe 3

    Die Abbildung zeigt den Graphen \(G_{f}\) der Funktion \(f \colon x \mapsto 2\sqrt{6 - x}\) mit dem Definitionsbereich \(D_{f} = [0;6]\). Der Punkt \(P(x|f(x))\), der Lotfußpunkt \(L(x|0)\) des Lotes von \(P\) auf die \(x\)-Achse und der Koordinatenursprung \(O\) legen das Dreieck \(OLP\) fest.

    Bestimmen Sie die Koordinaten des Punktes \(P\), sodass der Flächeninhalt \(A\) des Dreiecks \(OLP\) maximal ist.

    Abbildung zu Klausur Q11/2-004 Aufgabe 3

     

    Aufgabe 4

    Gegeben sind die Kugel \(K_{1}\) mit dem Mittelpunkt \(M_{1}(-3|5|8)\) und dem Radius \(r_{1} = 3\) sowie die Kugel \(K_{2}\) mit dem Mittelpunkt \(M_{2}(7|-5|3)\) und dem Radius \(r_{2} = 7\).

    Untersuchen Sie die gegenseitige Lage der Kugeln \(K_{1}\) und \(K_{2}\) und berechnen Sie ggf. den Abstand der beiden Kugeln.

     

    Aufgabe 5

    Bei der Herstellung wiederaufladbarer Batterien treten zwei Fehler auf.

    \(A\): Die Abmessung der Batterie weicht von der Typennorm ab.

    \(L\): Die Ladekapazität der Batterie liegt 20 % unter dem Sollwert.

    Laut Qualitätskontrolle weisen 15 % der Batterien den Fehler \(L\) auf und 5 % den Fehler \(A\). Die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens einer der beiden Fehler auftritt, wird mit 17 % angegeben.

    a) Beschreiben Sie folgende Ereignisse im Sachzusammenhang:

    α) \(\overline{\overline{A} \cap \overline{L}}\)

    β) \((A \cap \overline{L}) \cup (\overline{A} \cap L)\)

    b) Erstellen Sie eine den Sachverhalt beschreibende vollständig ausgefüllte Vierfeldertaffel.

    c) Zeigen Sie dass die Ereignisse \(A\) und \(L\) stochastisch abhängig sind.

    d) Erstellen Sie ein vollständig ausgefülltes Baumdiagramm, beginnend mit dem Ereignis \(A\). Beschreiben Sie, woran sich die stochastische Abhängigkeit der Ereignisse \(A\) und \(L\) an diesem Baumdiagramm erkennen lässt.

  • Geben Sie von folgenden Funktionen jeweils die maximale Definitionsmenge an und bestimmen Sie jeweils die Nullstelle(n). Bilden Sie jeweils die Ableitungsfunktion und vereinfachen Sie soweit wie möglich.

    a) \(f(x) = 2\ln{(3\sqrt{x})}\)

    b) \(g(x) = xe^{4 - 3x} + \dfrac{x^{2}}{e^{3x - 4}}\)

    c) \(h(x) = x^{3} \cdot \sin{\left( \dfrac{\pi}{3}x \right)}\)

  • Gegeben sind die in \(\mathbb R\) definierten Funktionen \(g_{a,c} \, \colon x \mapsto \sin (ax) + c\) mit \(a,c \in \mathbb R^+_0\).

    Geben Sie für jede der beiden folgenden Eigenschaften einen möglichen Wert für \(a\) und einen möglichen Wert für \(c\) so an, dass die zugehörige Funktion \(g_{a,c}\) diese Eigenschaft besitzt.

    α) Die Funktion\(g_{a,c}\) hat die Wertemenge \([0;2]\).

    β) Die Funktion \(g_{a,c}\) hat im Intervall \([0;\pi]\) genau drei Nullstellen.

    (3 BE)

  • Geben Sie einen positiven Wert für den Parameter \(a\) an, sodass die in \(\mathbb R\) definierte Funktion \(f \colon x \mapsto \sin(ax)\) eine Nullstelle in \(\displaystyle x = \frac{\pi}{6}\) hat.

    (1 BE)

  • Für \(0 \leq x \leq 5\) gilt, dass der Graph von \(f\) und der Graph einer trigonometrischen Funktion \(h\)

    ●  die gleichen Schnittpunkte mit der \(x\)-Achse besitzen,

    ●  beide nicht unterhalb der \(x\)-Achse verlaufen,

    ●  jeweils mit der \(x\)-Achse eine Fläche des Inhalts \(\frac{625}{72}\) einschließen.

    Bestimmen Sie einen Term einer solchen Funktion \(h\).

    (6 BE)

  • Gegeben ist die in \(\mathbb R\) definierte Funktion \(f \colon x \mapsto \sin(2x)\,\).

    Geben Sie zwei benachbarte Nullstellen von \(f\) an.

    (2 BE)

  • Betrachtet wird die Funktion \(\displaystyle f : x \mapsto \frac{\sin x}{x^2}\) mit Definitionsmenge \(\mathbb R \backslash \{0\}\).

    Geben Sie die Nullstellen von \(f\) an.

    (3 BE)