Ermitteln Sie das Symmetrieverhalten von \(G_{f}\) sowie das Verhalten von \(f\) für \(x \to - \infty\) und für \(x \to +\infty\).
(3 BE)
Lösung zu Teilaufgabe 1b
Symmetrieverhalten und Verhalten im Unendlichen
\[f(x) = e^{\frac{1}{2}x} + e^{-\frac{1}{2}x}; \; D = \mathbb R\]
Symmetrieverhalten von \(G_{f}\)
Das Symmetrieverhalten von \(G_{f}\) wird ermittelt, indem zunächst \(f(-x)\) bestimmt wird, und anschließend überprüft wird, ob \(f(-x) = f(x)\) oder \(f(-x) = -f(x)\) gilt, oder ggf. keine der beiden Gleichungen erfüllt ist.
Symmetrie von Funktionsgraphen bzgl. des Koordinatensystems
Der Graph einer Funktion \(f\) ist
achsensymmetrisch bzgl. der \(\boldsymbol{y}\)-Achse,
wenn für alle \(x \in D_f\) gilt: \(f(-x) = f(x)\).
punktsymmetrisch bzgl. des Koordinatenursprungs,
wenn für alle \(x \in D_f\) gilt: \(f(-x) = -f(x)\)
\[f(-x) = e^{\frac{1}{2} \cdot (-x)} + e^{-\frac{1}{2} \cdot (-x)} = e^{-\frac{1}{2}x} + e^{\frac{1}{2}x} = f(x)\]
\(\Longrightarrow \quad G_{f}\) ist achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse.
Verhalten von \(f\) für \(x \to -\infty\) und für \(x \to +\infty\)
\[\lim \limits_{x \, \to \, -\infty} f(x) = \lim \limits_{x \, \to \, -\infty} \Big( \underbrace{e^{\frac{1}{2}x}}_{\to \, 0} + \underbrace{e^{-\frac{1}{2}x}}_{\to \, +\infty} \Big) = +\infty\]
\[\lim \limits_{x \, \to \, +\infty} f(x) = \lim \limits_{x \, \to \, +\infty} \Big( \underbrace{e^{\frac{1}{2}x}}_{\to \, +\infty} + \underbrace{e^{-\frac{1}{2}x}}_{\to \, 0} \Big) = +\infty\]
Alternative:
Da \(G_{f}\) achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse ist, ist es auch möglich nur eine der Grenzweltbetrachtungen \(\lim \limits_{x \, \to \, -\infty} f(x)\) oder \(\lim \limits_{x \, \to \, +\infty} f(x)\) durchzuführen und auf die jeweils andere Grenzwertbetrachtung zu schließen.
\[\lim \limits_{x \, \to \, -\infty} f(x) = +\infty \quad \Longrightarrow \quad \lim \limits_{x \, \to \, +\infty} f(x) = +\infty\]
bzw.
\[\lim \limits_{x \, \to \, +\infty} f(x) = +\infty \quad \Longrightarrow \quad \lim \limits_{x \, \to \, -\infty} f(x) = +\infty\]