Die Fluggesellschaft beabsichtigt , ihren Passagieren neben dem Standardmenü gegen Zuzahlung ein Premiummenü anzubieten, möchte diesen Service jedoch nur dann einrichten, wenn er von mehr als 15 % der Passagiere gewünscht wird. Die Nullhypothese "Höchstens 15 % der Passagiere wünschen das Angebot eines Premiummenüs." soll auf der Basis einer Stichprobe von 200 Passagieren auf einem Signifikanzniveau von 5 % getestet werden.
Bestimmen Sie die zugehörige Entscheidungsregel.
(5 BE)
Lösung zu Teilaufgabe 2a
Signifikanztest
Zufallsgröße \(P \colon \enspace\) "Anzahl der Passagiere, die ein Premiummenü wünschen"
Analyse der Angabe:
"... auf der Basis einer Stichprobe von 200 Passagieren ..."
\(\Longrightarrow \quad\) Stichprobenumfang \(n = 200\)
"Die Nullhypothese "Höchstens 15 % der Passagiere wünschen das Angebot eines Premiummenüs." ..."
\(\Longrightarrow \quad\) Nullhypothese \(H_0 \colon \enspace p \leq 0{,}15\)
"... auf einem Signifikanzniveau von 5 % getestet werden."
\(\Longrightarrow \quad\) Signifikanzniveau \(\alpha = 0{,}05\)
Die Irrtumswahrscheinlichkeit, das Premiummenü anzubieten, obwohl höchstens 15 % der Passagiere dieses wünschen, soll höchstens 5 % betragen.
\(\Longrightarrow \quad P(\text{„Fehler 1. Art"}) \leq 0{,}05\)
Rechtsseitiger Signifikanztest
Einseitiger Signifikanztest zum Signifikanzniveau \(\boldsymbol{\alpha}\)
Ein einseitiger Signifikanztest zum Signifikanzniveau \(\alpha\) überprüft eine Vermutung, dass eine Wahrscheinlichkeit \(p\) größer bzw. kleiner als eine bestimmte Wahrscheinlichkeit \(p_{0}\) ist. Dabei darf die Wahrscheinlichkeit für den Fehler 1. Art höchstens den Wert des Signifikanzniveaus \(\alpha\) erreichen.
Linksseitiger Signifikanztest
\[H_0 \colon p_0 \geq p \quad H_1 \colon p_1 < p\]
Ablehnungsbereich von \(H_0\):
\[\overline{A} = \{0; 1; ...; k\}\]
Bedingung für den Fehler 1. Art:
\[\begin{align*} P_{p_{0}}^{n}(\text{„Fehler 1. Art"}) &\leq \alpha \\[0.8em] P_{p_{0}}^{n}(X \in \overline{A}) &\leq \alpha \\[0.8em] P_{p_{0}}^{n}(X \leq k) &\leq \alpha \\[1.6em] \overset{\text{ST}}{\Longrightarrow} \enspace k \enspace \Longrightarrow \enspace A, \overline{A} \end{align*}\]
Rechtsseitiger Signifikanztest
\[H_0 \colon p_0 \leq p \quad H_1 \colon p_1 > p\]
Ablehnungsbereich von \(H_0\):
\[\overline{A} = \{k + 1; ...; n\}\]
Bedingung für den Fehler 1. Art:
\[\begin{align*} P_{p_{0}}^{n}(\text{„Fehler 1. Art"}) &\leq \alpha \\[0.8em] P_{p_{0}}^{n}(X \in \overline{A}) &\leq \alpha \\[0.8em] P_{p_{0}}^{n}(X \geq k +1) &\leq \alpha \\[0.8em] 1 - P_{p_{0}}^{n}(X \leq k) &\leq \alpha & &| - 1 \\[0.8em] - P_{p_{0}}^{n}(X \leq k) &\leq \alpha - 1 &&| \textcolor{red}{\cdot (-1)} \\[0.8em] P_{p_{0}}^{n}(X \leq k) &\textcolor{red}{\geq} 1 - \alpha \\[1.6em] \overset{\text{ST}}{\Longrightarrow} \enspace k \enspace \Longrightarrow \enspace A, \overline{A} \end{align*}\]
ST: Stochastisches Tafelwerk
Nullhypothese \(H_0 \colon \enspace p \leq 0{,}15\)
Gegenhypothese \(H_1 \colon \enspace p > 0{,}15\)
Annahmebereich von \(H_0\): \(A = \{0; 1; ...; k\}\)
Ablehnungsbereich von \(H_0\): \(\overline{A} = \{k + 1; ...; 200\}\)
Bedingung für den Fehler 1. Art formulieren:
\[P^{200}_{0{,}15} (P \geq k + 1) \enspace \overset{!}{\leq} \enspace 0{,}05\]
Betrachten des Gegenereignisses:
Betrachten des Gegenereignisses (mindestens \(k\) Treffer)
Kumulative Wahrscheinlichkeiten der Form \(P(X \geq k)\) lassen sich im Stochastischen Tafelwerk (ST) nicht nachschlagen. Die Betrachtung des Gegenereignisses ermöglicht das Verwenden des Stochastischen Tafelwerks:
\[P(X \geq k) = 1 - P(X \leq k - 1)\]
Die Kumulative Verteilungsfunktion \(F_{p}^{n}(k) = P^n_p(X \leq k) = \sum \limits_{i\;=\;0}^{k} B(n;p;i)\) ist für bestimmte Werte der Parameter \(p\) und \(n\) in der rechten Spalte des Stochastischen Tafelwerks mit Abiturzulassung tabellarisiert.
\[\begin {align*} P^{200}_{0{,}15} (P \geq k + 1) &\leq 0{,}05 \\[0.8em] 1 - P^{200}_{0{,}15} (P \leq k) &\leq 0{,}05 & &| -1 \\[0.8em] -P^{200}_{0{,}15}(P \leq k) &\leq -0{,}95 & &| \cdot (-1) \qquad \text{Relationszeichen dreht!} \\[0.8em] P^{200}_{0{,}15}(P \leq k) &\geq 0{,}95 \end {align*}\]
Kumulative Verteilungsfunktion einer nach \(B(n, p)\) binomialverteilten Zufallsgröße \(X\)
\[F^n_p (k) = P^n_p (X \leq k) = \sum_{i \, = \, 0}^k B(n; p; i) = \sum_{i \, = \, 0}^k \binom{n}{i} \cdot p^i \cdot (1 - p)^{n - i}\]
Wobei \(n\) die Länge der Bernoullikette, \(p\) die Trefferwahrscheinlichkeit für das Eintreten des betrachteten Ereignisses und \(k \in \{0,1,\dots,n\}\) die Anzahl der Treffer ist.
Das Stochastische Tafelwerk (ST) listet die Werte der Kumulativen Verteilungsfunktion jeweils in der rechten Spalte einer betrachteten Tabelle der Parameter \(n\) und \(p\).
Stochastisches Tafelwerk (ST) verwenden:
\[P^{200}_{0{,}15} (P \leq k) = F^{200}_{0{,}15} (k) = \sum \limits_{i \; = \; 0}^{k} B(200; 0{,}15; i) \enspace \overset{!}{\geq} \enspace 0{,}95\]
\[\overset{\text{ST}}{\Longrightarrow} \quad k = 38 \quad \left( F^{200}_{0{,}15} (38) \quad \overset{\text{ST}}{=} \quad 0{,}95020 \right)\]
Entscheidungsregel formulieren:
Annahmebereich von \(H_0\): \(A = \{0; 1; ...; 38\}\)
Ablehnungsbereich von \(H_0\): \(\overline{A} = \{39; ...; 200\}\)
Wenn sich mindestens 39 Passagiere für das Angebot eines Premiummenüs aussprechen, wird die Nullhypothese "Höchstens 15 % der Passagiere wünschen das Angebot eines Premiummenüs." abgelehnt.