Bestimmen Sie, wie viele Kandidaten an der Quizshow mindestens teilnehmen müssten, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von mehr als 90 % wenigstens ein Kandidat darunter ist, der keine Aufgabe aus dem Fachgebiet Mathematik lösen muss.
(4 BE)
Lösung zu Teilaufgabe 3d
Binomialverteilung
Binomialverteilte Zufallsgröße
Für eine Zufallsgröße \(X\), welche bei einer Bernoulli-Kette der Länge \(n\) die Anzahl der Treffer \(k \in \{0,1,\dots,n\}\) mit der Trefferwahrscheinlichkeit \(p\) angibt, gilt:
Binomialverteilung (vgl. Merkhilfe)
\[P_{p}^{n}(X = k) = B(n;p;k) = \binom{n}{k} \cdot p^{k} \cdot (1 - p)^{n - k} \quad (0 \leq k \leq n)\]
Eine Binomialverteilung ist durch die Parameter \(n\) und \(p\) eindeutig bestimmt und wird durch das Symbol \(B(n:p)\) gekennzeichnet. \(X\) heißt binomialverteilt nach \(B(n;p)\).
Voraussetzung für eine Binomialverteilung
Ein Zufallsexperiment, bei dem nur zwei sich gegenseitig ausschließende Ereignisse \(A\) und \(\overline{A}\) mit konstanten Wahrscheinlichkeiten eintreten können (Bernoulli-Experiment).
Zufallsgröße \(K \colon \enspace\) "Anzahl der Kandidaten, die keine Aufgabe aus dem Fachgebiet Mathematik lösen müssen"
Analyse der Angabe:
"... wenigstens ein Kandidat ..., der keine Aufgabe aus dem Fachgebiet Mathematik lösen muss."
\(\Longrightarrow \quad K \geq 1\)
"... keine Aufgabe aus dem Fachgebiet Mathematik lösen muss."
\(\Longrightarrow \quad p = P(X = 0) = \frac{1}{9}\,\) (siehe Teilaufgabe 1b)
"... mit einer Wahrscheinlichkeit von mehr als 90 % ..."
\(\Longrightarrow \quad P^n_{\frac{1}{9}}(K \geq 1) > 0{,}9\)
Betrachten des Gegenereignisses:
Betrachten des Gegenereignisses (mindestens 1 Treffer)
Wahrscheinlichkeitsberechnungen einer binomialverteilten Zufallsgröße \(X\) der Form „mindestens 1 Treffer" \(P(X \geq 1)\) vereinfachen sich durch die Betrachtung des Gegenereignisses „nicht 0 Treffer":
\[P(X \geq 1) = 1 - P(X = 0)\]
Formel von Bernoulli
Wahrscheinlichkeit für genau \(k\) Treffer bei einer Bernoullikette der Länge \(n\) und der Trefferwahrscheinlichkeit \(p\) für das Eintreten eines betrachteten Ereignisses:
\[P(X = k) = B(n;p;k) = \binom{n}{k} \cdot p^k \cdot (1 - p)^{n - k}\]
\[k \in \{0,1,\dots,n\}\]
\[\begin{align*} P^n_{\frac{1}{9}}(K\geq 1) &> 0{,}9 & &|\; \text{Gegenereignis formulieren} \\[0.8em] 1 - P^n_{\frac{1}{9}}(K = 0) &> 0{,}9 & &| -1 \\[0.8em] - P^n_{\frac{1}{9}}(K = 0) &> -0{,}1 & &| \cdot (-1) \quad \text{Relationszeichen dreht!} \\[0.8em] P^n_{\frac{1}{9}}(K = 0) &< 0{,}1 & &|\; \text{Formel von Bernoulli anwenden} \\[0.8em] \underbrace{\binom{n}{0}}_{1} \cdot \underbrace{\left( \frac{1}{9} \right)^0}_{1} \cdot \left( \frac{8}{9} \right)^n &< 0{,}1 & &|\; \ln(\dots) \\[0.8em] n \cdot \ln\left( \frac{8}{9} \right) &< \ln(0{,}1) & &| :\ln\left( \frac{8}{9} \right) \quad \text{Relationszeichen dreht!} \\[0.8em] n &> \frac{\ln(0{,}1)}{\ln\left( \frac{8}{9} \right)} \\[0.8em] n &> 19{,}549... \end{align*}\]
\[\Longrightarrow \quad n \geq 20\]
Es müssen mindesten 20 Kandidaten an der Quizshow teilnehmen.
