Bestimmen Sie die Gleichung der Tangente an \(G_f\) im Achsenschnittpunkt \(S\).
(Ergebnis: \(y = 0{,}18x + 0{,}2\))
(2 BE)
Lösung zu Teilaufgabe 1d
\[f(x) = \frac{2e^x}{e^x + 9}\,; \quad D = \mathbb R\]
\[S\,(0|0{,}2)\]
1. Lösungsansatz: Tangentengleichung
Gleichung einer Tangente \(T\) an den Graphen einer Funktion \(f\) im Punkt \(P\;(x_0|f(x_0)) \):
\[y = f'(x_{0}) \cdot (x - x_{0}) + f(x_{0})\]
\[T\,\colon\, y = f'(x_{S}) \cdot (x - x_{S}) + f(x_{S})\]
\[x_{S}= 0\]
\(f(x_{S}) = f(0) = 0{,}2\,\) (siehe Teilaufgabe 1a)
\(\displaystyle f'(x_{S}) = f'(0) = \frac{18e^0}{(e^0 + 9)^2} = \frac{18}{100} = 0{,}18\) (siehe Teilaufgabe 1c)
\[\begin{align*} y &= f'(x_{S}) \cdot (x - x_{S}) + f(x_{S}) \\[0.8em] &= 0{},18 \cdot (x - 0) + 0{,}2 \\[0.8em] &= 0{,}18x + 0{,}2 \end{align*}\]
\[\Longrightarrow \quad T\,\colon\, y = 0{,}18x + 0{,}2\]
2. Lösungsansatz: Allgemeine Geradengleichung
Allgemeine Geradengleichung
\[y = mx + t\]
Wobei \(m\) die Steigung und \(t\) der \(y\)-Achsenabschnitt der Geraden ist.
\[T\,\colon\, y = m_{T} \cdot x +t\,; \quad S\,(0|0{,}2) \]
Tangentensteigung bestimmen:
Anwendung der Differetialrechnung:
Steigung \(m_{T}\) einer Tangente \(T\) an den Graphen einer Funktion \(f\) im Punkt \(P\,(\,x_0\,|\,f(x_0)\,)\)
\[m_{T} = f'(x_0)\]
(vgl. Merkhilfe)
\[m_T = f'(0) = \frac{18e^0}{e^0 + 9} = \frac{18}{100} = 0{,}18\]
\(y\)-Achsenabschnitt \(t\) der Tangente bestimmen:
Da der Punkt \(S\,(0|0{,}2)\) auf der \(y\)-Achse liegt, kann der \(y\)-Achsenabschnitt \(t\) der Tangente \(T\) direkt dem Punkt \(S\) entnommen werden.
\[t = y_S = 0{,}2\]
\[\Longrightarrow \quad T\,\colon\, y = 0{,}18x + 0{,}2\]
Tangente \(T\) an \(G_f\) im Punkt \(S\)
