Abiturlösungen Mathematik Bayern 2014

Aufgaben mit ausführlichen Lösungen

2.3.1 Lagebeziehung von Geraden

2.3.1 Lagebeziehung von Geraden

Bestimmen Sie diejenigen Werte von \(t\), für die der jeweils zugehörige Quader das Volumen 15 besitzt.

(3 BE)

Lösung zu Teilaufgabe 1b

 

1. Lösungsansatz: Elemetargeometrischer Ansatz

 

\(\overrightarrow{a} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}\), \(\overrightarrow{b} = \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix}\), \(\overrightarrow{c_t} = \begin{pmatrix} 4t \\ 2t \\ -5t \end{pmatrix}\) 

 

\[V = G \cdot h\]

 

Mit der Grundfläche \(G = \vert \overrightarrow{a} \vert \cdot \vert \overrightarrow{b} \vert\) und der Höhe \(h = \vert \overrightarrow{c_{t}} \vert\) ergibt sich:

Betrag eines Vektors

Betrag eines Vektors

\[ \vert \overrightarrow{a} \vert = \sqrt{\overrightarrow{a} \circ \overrightarrow{a}} = \sqrt{{a_1}^2 + {a_2}^2 + {a_3}^2}\]

(vgl. Merkhilfe)

\[\begin{align*} V(t) &= \vert \overrightarrow{a} \vert \cdot \vert \overrightarrow{b} \vert\ \cdot \vert \overrightarrow{c_{t}} \vert \\[0.8em] &= \left| \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} \right| \cdot \left| \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix} \right| \cdot \left| \begin{pmatrix} 4t \\ 2t \\ -5t \end{pmatrix} \right| \\[0.8em] &= \sqrt{2^2 + 1^2 + 2^2} \cdot \sqrt{(-1)^2 + 2^2 + 0^2} \cdot \sqrt{(4t)^2 + (2t)^2 + (-5t)^2} \\[0.8em] &= \sqrt{9} \cdot \sqrt{5} \cdot \sqrt{45t^2} \\[0.8em] &= \sqrt{9 \cdot 5 \cdot 45t^2} \\[0.8em] &= \sqrt{2025t^2} \\[0.8em] &= \pm 45t \end{align*}\]

 

Werte von \(t\) berechnen, für die der jeweils zugehörige Quader das Volumen 15 besitzt:

 

\[\begin{align*} \pm 45t &= 15 & &| : 45 \\[0.8em] \pm t &= \frac{15}{45} \\[0.8em] t &= \pm \frac{1}{3} \end{align*}\]

 

Für \(\displaystyle t = -\frac{1}{3}\) und \(\displaystyle t = \frac{1}{3}\) besitzt der jeweils zugehörige Quader das Volumen 15.

 

2. Lösungsansatz: Spatprodukt anwenden

 

Die Volumina der Quader lassen sich mithilfe des Spatprodukts berechnen.

Spatprodukt

Anwendung des Vekorprodukts - Spatprodukt (vgl. Merkhilfe)

Volumen eines Spats

\[V_{\text{Spat}} = \left| \left( \overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b} \right) \circ \overrightarrow{c} \; \right|\]

Volumen einer dreiseitigen Pyramide

\[V_{\text{Pyramide}} = \frac{1}{6} \left| \left( \overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b} \right) \circ \overrightarrow{c} \; \right|\]

Spatprodukt, Spatvolumen, Pyramidenvolumen

\[V(t) = \left| \bigg( \overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b} \bigg) \circ \overrightarrow{c_{t}} \right|\]

 

\(\overrightarrow{a} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}\), \(\overrightarrow{b} = \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix}\), \(\overrightarrow{c_t} = \begin{pmatrix} 4t \\ 2t \\ -5t \end{pmatrix}\)

Vektorprodukt

Vektorprodukt (Kreuzprodukt)

Das Vektorprodukt \(\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b}\) zweier Vektoren \(\overrightarrow{a}\) und \(\overrightarrow{b}\) erzeugt einen neuen Vektor \(\overrightarrow{c} = \overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b}\) mit den Eigenschaften:

\(\overrightarrow{c}\) ist sowohl zu \(\overrightarrow{a}\) als auch zu \(\overrightarrow{b}\) senkrecht.

\[\overrightarrow{c} = \overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b} \quad \Longrightarrow \quad \overrightarrow{c} \perp \overrightarrow{a}, \enspace \overrightarrow{c} \perp \overrightarrow{b}\]

Der Betrag des Vektorprodukts zweier Vektoren \(\overrightarrow{a}\) und \(\overrightarrow{b}\) ist gleich dem Produkt aus den Beträgen der Vektoren \(\overrightarrow{a}\) und \(\overrightarrow{b}\) und dem Sinus des von ihnen eingeschlossenen Winkels \(\varphi\).

\[\vert \overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b} \vert = \vert \overrightarrow{a} \vert \cdot \vert \overrightarrow{b} \vert \cdot \sin{\varphi} \quad (0^{\circ} \leq \varphi \leq 180^{\circ})\]

Die Vektoren \(\overrightarrow{a}\), \(\overrightarrow{b}\) und \(\overrightarrow{c}\) bilden in dieser Reihenfolge ein Rechtssystem. Rechtehandregel: Weist \(\overrightarrow{a}\) in Richtung des Daumens und \(\overrightarrow{b}\) in Richtung des Zeigefingers, dann weist \(\overrightarrow{c} = \overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b}\) in Richtung des Mittelfingers.

Berechnung eines Vektorprodukts im \(\boldsymbol{\mathbb R^{3}}\) (vgl. Merkhilfe)

\[\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b} = \begin {pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end {pmatrix} \times \begin {pmatrix} b_1 \\ b_2 \\ b_3 \end {pmatrix} = \begin {pmatrix} a_2 \cdot b_3 - a_3 \cdot b_2 \\ a_3 \cdot b_1 - a_1 \cdot b_3 \\ a_1 \cdot b_2 - a_2 \cdot b_1 \end {pmatrix}\]

Skalarprodukt

Skalarprodukt

Unter dem Skalarprodukt \(\overrightarrow{a} \circ \overrightarrow{b}\) zweier Vektoren \(\overrightarrow{a}\) und \(\overrightarrow{b}\) versteht man das Produkt aus den Beträgen der beiden Vektoren und dem Kosinus des von den Vektoren eingeschlossenen Winkels \(\varphi\).

\[\overrightarrow{a} \circ \overrightarrow{b} = \vert \overrightarrow{a} \vert \cdot \vert \overrightarrow{b} \vert \cdot \cos{\varphi} \quad (0^{\circ} \leq \varphi \leq 180^{\circ})\]

Berechnung eines Skalarprodukts im \(\boldsymbol{\mathbb R^{3}}\) (vgl. Merkhilfe)

\[\overrightarrow{a} \circ \overrightarrow{b} = \begin{pmatrix} a_{1} \\ a_{2} \\ a_{3} \end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix} b_{1} \\ b_{2} \\ b_{3} \end{pmatrix} = a_{1}b_{1} + a_{2}b_{2} + a_{3}b_{3}\]

\[\begin{align*} V(t) &= \left| \bigg( \overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b} \bigg) \circ \overrightarrow{c_{t}} \right| \\[0.8em]  &= \left| \left[ \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix} \right] \circ \begin{pmatrix} 4t \\ 2t \\ -5t \end{pmatrix} \right| \\[0.8em] &= \left| \begin{pmatrix} 1 & \cdot & 0 & - & 2 & \cdot & 2 \\ 2 & \cdot & (-1) & - & 2 & \cdot & 0 \\ 2 & \cdot & 2 & - & 1 & \cdot & (-1) \end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix} 4t \\ 2t \\ -5t \end{pmatrix} \right| \\[0.8em] &= \left| \begin{pmatrix} -4 \\ -2 \\ 5 \end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix} 4t \\ 2t \\ -5t \end{pmatrix} \right| \\[0.8em] &= \vert (-4) \cdot 4t + (-2) \cdot 2t + 5 \cdot (-5t) \vert \\[0.8em] &= \vert -16t - 4t -25t \vert \\[0.8em] &= \vert -45t \vert \end{align*}\]

 

Werte von \(t\) berechnen, für die der jeweils zugehörige Quader das Volumen 15 besitzt:

 

\[\begin{align*}V(t) &= 15 \\[0.8em] \vert -45t \vert &= 15 & & t \in \mathbb R \, \backslash \, \{0\} \end{align*}\]

 

\[\vert -45t \vert = \begin{cases} -45t & \enspace t < 0 \\[0.8em] 45t & \enspace t > 0  \end{cases}\]

 

\[\begin{align*} \text{für} \enspace t &< 0: & & & \text{für} \enspace t &> 0: & & \\[0.8em] -45t &= 15 & &| : (-45) \quad & \quad 45t &= 15 & &| : 45 \\[0.8em] t &= -\frac{15}{45} & & & t &= \frac{15}{45} & & \\[0.8em] t &= -\frac{1}{3} & & & t &= \frac{1}{3} & &   \end{align*}\]

 

Für \(\displaystyle t = -\frac{1}{3}\) und \(\displaystyle t = \frac{1}{3}\) besitzt der jeweils zugehörige Quader das Volumen 15.