Betrachtet wird eine Gerade, die mit \(G\) sowohl den Punkt \(P\) als auch einen weiteren Punkt gemeinsam hat. Geben Sie alle möglichen Steigungen dieser Gerade an.
(4 BE)
Lösung zu Teilaufgabe 4b
Die Steigung \(m\) einer Gerade, die mit \(G\) sowohl den Punkt \(P\) als auch einen weiteren Punkt gemeinsam hat, kann die Werte \(\frac{1}{2} < m \leq 1\) oder \(0 < m < \frac{1}{2}\) annehmen.
Begründung (nicht verlangt)
Die Tangente an \(G\) im Punkt \(P\) mit der Gleichung \(\textcolor{#cc071e}{y = \frac{1}{2}x-\frac{1}{2}}\) (vgl. Angabe Aufgabe 4) hat die Steigung \(\textcolor{#cc071e}{\frac{1}{2}}\).
Die Gerade (Sekante) durch \(P\) und den Punkt \((2|0)\) hat die maximal mögliche Steigung \(\textcolor{#e9b509}{1}\).
\[\Rightarrow \textcolor{#cc071e}{\frac{1}{2}} < m \leq \textcolor{#e9b509}{1}\]
Die Steigung \(\textcolor{#e9b509}{m}\) einer Gerade (Sekante) durch \(P(3|1)\) und einen weiteren Punkt \((x|g(x))\) hat für \(x \to +\infty\) den Grenzwert \(\textcolor{#e9b509}{0}\).
\[\begin{align*}\textcolor{#e9b509}{m} &= \lim \limits_{x\,\to\,+\infty} \frac{g(x) - 1}{x-3} = \lim \limits_{x\,\to\,+\infty} \frac{\sqrt{x-2}-1}{x-3} \\[0.8em] &\approx \lim \limits_{x\,\to\,+\infty} \frac{\sqrt{x}}{x} = \lim \limits_{x\,\to\,+\infty} \frac{1}{\sqrt{x}} \\[0.8em] &= \textcolor{#e9b509}{0}\end{align*}\]
\[\Rightarrow \textcolor{#e9b509}{0} < m < \textcolor{#cc071e}{\frac{1}{2}}\]
