Die Seitenfläche \(PQRS\) liegt in einer Ebene \(F\). Bestimmen Sie, ohne zu rechnen, eine Gleichung von \(F\) in Normalenform; erläutern Sie Ihr Vorgehen.

(2 BE)

Lösung zu Teilaufgabe d

 

Zueinander parallele Seitenflächen ABCD und PQRS des Spats ABCDPQRS, Zueinander parallele Ebenen E und F 

Die Seitenflächen \(ABCD\) und \(PQRS\) des Spats \(ABCDPQRS\) sind zueinander parallel. Folglich liegt die Ebene \(F\) parallel zur Ebene \(E\) und es gilt: \(\overrightarrow{n}_{F} = \overrightarrow{n}_{E}\).

Die Ebene \(F\) enthält den Koordinatenursprung \(P\,(0|0|0)\). Das bedeutet, dass der konstante Summand \(n_0\) der Ebenengleichung von \(F\) in Normalenform in Koordinatendarstellung gleich Null ist.

Ebenengleichung in Normalenform

Ebenengleichung in Normalenform (vgl. Merkhilfe)

Jede Ebene lässt sich durch eine Gleichung in Normalenform beschreiben. Ist \(A\) ein beliebiger Aufpunkt der Ebene \(E\) und \(\overrightarrow{n}_{E}\) ein Normalenvektor von \(E\), so erfüllt jeder Punkt \(X\) der Ebene \(E\) folgende Gleichungen:

Normalenform in Vektordarstellung

\[E \colon \overrightarrow{n}_{E} \circ (\overrightarrow{X} - \overrightarrow{A}) = 0\]

Veranschaulichung: Ebenengleichung in Normalenform in Vektordarstellung

Normalenform in Koordinatendarstellung

\[E \colon n_{1}x_{1} + n_{2}x_{2} + n_{3}x_{3} + n_{0} = 0\]

mit \(n_{0} = -(\overrightarrow{n}_{E} \circ \overrightarrow{A}) = - \: n_{1}a_{1} - n_{2}a_{2} - n_{3}a_{3}\)

\(n_{1}\), \(n_{2}\) und \(n_{3}\): Koordinaten eines Normalenvektors \(\overrightarrow{n}_{E}\)

\[E\,\colon\;3x_1 + 4x_3 - 84 = 0\]

\[F\,\colon\; n_1x_1 + n_2x_2 + n_3x_3 + n_0 = 0\]

 

\[\left. \begin{align*} &F \parallel E \quad \Longrightarrow \quad \overrightarrow{n}_F = \overrightarrow{n}_E \\[0.8em] &P\,(0|0|0) \in F \quad \Longrightarrow \quad n_0 = 0 \end{align*} \right\} \enspace \Rightarrow \enspace F\,\colon\; 3x_1 + 4x_3 = 0\]