Berechnen Sie die Koordinaten des Schnittpunkts von \(g\) mit der \(y\)-Achse. Begründen Sie anhand des gegebenen Terms von \(f\), dass \(G\) für \(x > -3\) oberhalb der Gerade mit der Gleichung \(y = x-3\) verläuft.
(3 BE)
Lösung zu Teilaufgabe 1b
\[f(x) = x - 3 + \frac{5}{x+3}; D_f = \mathbb R \backslash \{-3\}\]
Koordinaten des Schnittpunkts von \(g\) mit der \(y\)-Achse
\[f(\textcolor{#e9b509}{0}) = \textcolor{#e9b509}{0} - 3 + \frac{5}{\textcolor{#e9b509}{0} + 3} = -3 + \frac{5}{3} = -\frac{4}{3}\]
Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse: \(\Big(\textcolor{#e9b509}{0}\Big|-\frac{4}{3}\Big)\)
Begründung, dass \(G\) für \(x > -3\) oberhalb der Gerade mit der Gleichung \(y = x-3\) verläuft
Für \(x > - 3\) gilt: \(f(x) = \textcolor{#cc071e}{x - 3} + \textcolor{#0087c1}{\underbrace{\dfrac{5}{x+3}}_{>\,0}} \boldsymbol{>} \textcolor{#cc071e}{x - 3}\)
Für \(x > -3\) ist der Nenner \(\textcolor{#0087c1}{x + 3}\) des Bruchs \(\textcolor{#0087c1}{\dfrac{5}{x+3}}\) stets positiv und damit der Wert des Bruchs positiv.
Somit gilt \(f(x) > \textcolor{#cc071e}{x-3}\) und der Graph \(G\) der Funktion \(f\) verläuft für \(x > -3\) oberhalb der Gerade mit der Gleichung \(y = \textcolor{#cc071e}{x-3}\) (schräge Asymptote).
