Das Glücksrad wird viermal gedreht und die Abfolge der Farben als Ergebnis notiert. Bestimmen Sie die Anzahl der möglichen Ergebnisse, in denen die Farbe Blau nicht vorkommt.

(2 BE)

Lösung zu Teilaufgabe 1d

 

Kombinatorik, Ziehen mit Zurücklegen und mit Beachtung der Reihenfolge

 

1. Möglichkeit: Urnenmodell „Ziehen mit Zurücklegen und mit Beachtung der Reihenfolge" anwenden

Wenn die Farbe Blau nicht vorkommen darf, gibt es bei jeder der vier Drehungen des Glücksrads genau zwei mögliche Ergebnisse, nämlich Rot oder Gelb.

Grundformeln der Kombinatorik

Grundformeln der Kombinatorik

Viele mehrstufige Zufallsexperimente können mithilfe sogenannter Urnenmodelle veranschaulicht werden. Aus einer Urne mit \(\boldsymbol{n}\) unterscheidbaren Kugeln wird \(\boldsymbol{k}\)-mal eine Kugel gezogen.

Die Modelle lassen sich in die Fälle mit/ohne Zurücklegen bzw. mit/ohne Beachtung der Reihenfolge der gezogenen Kugeln unterteilen.

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\[n^{k}\]

\(n\): Anzahl der Unterscheidungsmerkmale

\(k\): Anzahl der Wiederholungen

 

Beispiel:

Wieviele Möglichkeiten gibt es, vier Wände eines Kinderzimmers in den Farben Seesternorange, Frochschgrün, Libellenblau, Käferrot oder Bienengelb zu streichen?

\(\textcolor{#cc071e}{n = 5}\), da fünf verschiedene Farben zur Verfügung stehen.

\(\textcolor{#0087c1}{k = 4}\), da viermal eine Farbe zu wählen ist.

Somit \(\textcolor{#cc071e}{5}^{\textcolor{#0087c1}{4}} = 625\) Möglichkeiten

- nicht abiturrelevant -

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\(n \cdot (n - 1) \cdot ... \cdot (n - k + 1)\)

Spezialfall: \(n!\) für \(k = n\) (Permutationen)

\(n\): Anzahl der Unterscheidungsmerkmale

\(k\): Anzahl der Wiederholungen

 

Beispiel:

Wieviele Möglichkeiten gibt es, vier Wände eines Kinderzimmers in den Farben Seesternorange, Frochschgrün, Libellenblau, Käferrot oder Bienengelb zu streichen, wenn jede Wand eine andere Farbe bekommen soll?

\(\textcolor{#cc071e}{n = 5}\), da fünf verschiedene Farben zur Verfügung stehen.

\(\textcolor{#0087c1}{k = 4}\), da viermal eine Farbe zu wählen ist.

Für die erste Wand stehen fünf Farben zur Auswahl, für die zweite Wand noch vier Farben, für die dritte Wand noch drei Farben und für die vierte Wand schließlich nur noch zwei Farben.

Somit \(\underbrace{\textcolor{#cc071e}{5} \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2}_{\textcolor{#0087c1}{k\,=\,4}} = 120\) Möglichkeiten

\[\binom{n}{k} = \frac{n!}{k! \cdot (n - k)!} = \frac{n \cdot (n - 1) \cdot ... \cdot (n - k + 1)}{k!}\]

(entspricht „Ziehen mit einem Griff")

 

Der Binomialkoeffizient \(\displaystyle \binom{n}{k}\) gibt an, wie viele Möglichkeiten es gibt, aus einer Menge mit \(n\) Elementen eine Teilmenge mit \(k\) Elementen zu bilden (vgl. Merkhilfe).

 

Beispiel:

Von 30 Schüler*innen können acht Schüler*innen an einer Studienfahrt teilnehmen. Die Teilnehmer*innen werden per Los entschieden. Wieviele mögliche Gruppierungen gibt es?

\(n = 30\)

\(k = 8\)

Somit \(\displaystyle \binom{30}{8} = 5852925\) mögliche Gruppen aus jeweils acht Schüler*innen.

\[\Longrightarrow \quad N = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 2^{4} = 16\]

 

2. Möglichkeit: Ergebnisse notieren und zählen

Diese Methode ist etwas zeitaufwändiger, aber in diesem Fall dennoch möglich.

Es sei \(E\) das Ereignis „Bei viermaligem Drehen des Glücksrads kommt die Farbe Blau nicht vor."

 

\(r\): Die Farbe Rot wird gedreht.

\(g\): Die Farbe Gelb wird gedreht.

 

\[\begin{align*} E = \{&(rrrr),\\[0.8em] &(rrrg), (rrgr), (rgrr), (grrr), \\[0.8em] &(rrgg), (ggrr), (rgrg), (grgr), (rggr), (grrg), \\[0.8em] &(rggg), (grgg), (ggrg), (gggr), \\[0.8em] &(gggg) \} \end{align*}\]

 

\[\Longrightarrow \quad \vert E \vert = 16\]