Unter den Touristen eines Naturparks nutzen erfahrungsgemäß 15 % das Fahrrad für Ausflüge vor Ort. Im Folgenden werden diese Touristen als Radausflügler bezeichnet. Es soll davon ausgegangen werden, dass in einer zufälligen Auswahl von Touristen des Naturparks die Anzahl der Radausflügler binomialverteilt ist.
Für eine Stichprobe werden 50 Touristen des Naturparks zufällig ausgewählt.
Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass sich in der Stichprobe genau fünf Radausflügler befinden.
(1 BE)
Lösung zu Teilaufgabe 1a
Zufallsgröße \(X\): Anzahl der Radausflügler unter 50 Touristen des Naturparks.
\[P_{0{,}15}^{50}(X = 5) = 0{,}10725 \approx 11\,\%\]
Ausführliche Erklärung (nicht verlangt)
Betrachtetes Ereignis: „Ein Tourist ist ein Radausflügler."
Das betrachtete Ereignis tritt mit der Wahrscheinlichkeit \(\textcolor{#cc071e}{p = 0{,}15}\) ein.
Zufallsgröße \(X\): Anzahl der Radausflügler unter 50 zufällig ausgewählten Touristen des Naturparks.
Annahme lt. Angabe: Die Zufallsgröße \(X\) ist binomialverteilt nach \(B(\textcolor{#0087c1}{50};\textcolor{#cc071e}{0{,}15})\).
„... Wahrscheinlichkeit dafür, dass sich in der Stichprobe genau fünf Radausflügler befinden."
Binomialverteilte Zufallsgröße
Eine Zufallsgröße \(X\), die bei einer Bernoulli-Kette der Länge \(n\) die Anzahl der Treffer \(k \in \{0;1;\dots;n\}\) mit der Trefferwahrscheinlichkeit \(p\) angibt, heißt binomialverteilt nach \(B(n;p)\).
Binomialverteilung
Die Wahrscheinlichkeitsverteilung einer \(B(n;p)\)-verteilten Zufallsgröße \(X\) heißt Binomialverteilung.
Es gilt: \(\displaystyle P_{p}^{n}(X = k) = B(n;p;k) = \binom{n}{k} \cdot p^{k} \cdot (1 - p)^{n - k}\) mit \(k = \{0;1;\dots;n\}\) (Bernoulli-Formel)*
Kumulative Verteilungsfunktion einer \(\boldsymbol{B(n;p)}\)-verteilten Zufallsgröße \(\boldsymbol{X}\)
\(F_p^n(k) = P_p^n(X \leq k) = \sum \limits_{i\,=\,0}^k B(n;p;i)\) (von \(X = 0\) bis \(X = k\) aufsummierte Einzelwahrscheinlichkeiten \(B(n;p;i)\))*
* Kann mit dem wissenschaftlichen Taschenrechner (WTR) oder ggf. mit dem Tafelwerk (TW) bestimmt werden.
Mithilfe des Tafelwerks (TW, linke Spalte):
\[P_{\textcolor{#cc071e}{0{,}15}}^{\textcolor{#0087c1}{50}}(\textcolor{#e9b509}{X = 5}) = B(\textcolor{#0087c1}{50};\textcolor{#cc071e}{0{,}15};\textcolor{#e9b509}{5}) \overset{\text{TW}}{=} 0{,}10725 \approx 11\,\%\]
Mithilfe der Formel von Bernoulli:
\[P_{\textcolor{#cc071e}{0{,}15}}^{\textcolor{#0087c1}{50}}(\textcolor{#e9b509}{X = 5}) = \binom{\textcolor{#0087c1}{50}}{\textcolor{#e9b509}{5}} \cdot \textcolor{#cc071e}{0{,}15}^{\textcolor{#e9b509}{5}} \cdot (1 - \textcolor{#cc071e}{0{,}15})^{\textcolor{#0087c1}{50}\,-\,\textcolor{#e9b509}{5}} \approx 0{,}10725 \approx 11\,\%\]
