Bestimmen Sie eine Gleichung von \(E\) in Koordinatenform und geben Sie die besondere Lage von \(E\) im Koordinatensystem an.
(zur Kontrolle: \(E \colon 2x_2-3x_3-26=0\))
(4 BE)
Lösung zu Teilaufgabe b
Gleichung der Ebene \(E\) in Koordinatenform
Die Punkte \(A\), \(B\), \(C\) und \(D\) liegen in der Ebene \(E\) (ergänzende schematische Darstellung, vgl. Angabe). Beispielsweise liefert das Vektorprodukt \(\textcolor{#cc071e}{\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AD}}\) der linear unabhängigen Verbindungsvektoren \(\textcolor{#cc071e}{\overrightarrow{AB}}\) und \(\textcolor{#cc071e}{\overrightarrow{AD}}\) einen Normalenvektor \(\textcolor{#0087c1}{\overrightarrow{n}}\) der Ebene \(\textcolor{#0087c1}{E}\). Als Aufpunkt wählt man einen der Punkte \(A\), \(B\), \(C\) oder \(D\). Damit lässt sich eine Gleichung der Ebene \(E\) in Koordinatenform (Normalenform in Koordinatendarstellung) bestimmen.
Lineare (Un)Abhängigkeit von zwei Vektoren
Zwei Vektoren \(\overrightarrow{a}\) und \(\overrightarrow{b}\) sind
linear abhängig, wenn
\(\overrightarrow{a} \parallel \overrightarrow{b}\) bzw. \(\overrightarrow{a} = k \cdot \overrightarrow{b}\) mit \(k \in \mathbb R\) gilt.
linear unabhängig, wenn
\(\overrightarrow{a} \nparallel \overrightarrow{b}\) bzw. \(\overrightarrow{a} \neq k \cdot \overrightarrow{b}\) mit \(k \in \mathbb R\) gilt.
Lineare (Un-)Abhängigkeit von drei Vektoren
Drei Vektoren \(\overrightarrow{a}\), \(\overrightarrow{b}\) und \(\overrightarrow{c}\) sind
linear abhängig, wenn
sie in einer Ebene liegen bzw. wenn beispielsweise
die lineare Vektorgleichung \(\overrightarrow{c} = r \cdot \overrightarrow{a} + s \cdot \overrightarrow{b}\) eine eindeutige Lösung hat.
linear unabhängig, wenn
sie den Raum \(\mathbb R^{3}\) aufspannen bzw. wenn beispielsweise
die lineare Vektorgleichung \(\overrightarrow{c} = r \cdot \overrightarrow{a} + s \cdot \overrightarrow{b}\) keine Lösung hat.
Der Ansatz kann mithilfe der Normalenform in Vektordarstellung oder in Koordinatendarstellung erfolgen.
Ebenengleichung in Normalenform (vgl. Merkhilfe)
Jede Ebene lässt sich durch eine Gleichung in Normalenform beschreiben. Ist \(A\) ein beliebiger Aufpunkt der Ebene \(E\) und \(\overrightarrow{n}_{E}\) ein Normalenvektor von \(E\), so erfüllt jeder Punkt \(X\) der Ebene \(E\) folgende Gleichungen:
Normalenform in Vektordarstellung
\[E \colon \overrightarrow{n}_{E} \circ (\overrightarrow{X} - \overrightarrow{A}) = 0\]
Normalenform in Koordinatendarstellung
\[E \colon n_{1}x_{1} + n_{2}x_{2} + n_{3}x_{3} + n_{0} = 0\]
mit \(n_{0} = -(\overrightarrow{n}_{E} \circ \overrightarrow{A}) = - \: n_{1}a_{1} - n_{2}a_{2} - n_{3}a_{3}\)
\(n_{1}\), \(n_{2}\) und \(n_{3}\): Koordinaten eines Normalenvektors \(\overrightarrow{n}_{E}\)
Die Verbindungsvektoren \(\textcolor{#cc071e}{\overrightarrow{AB}}\) und \(\textcolor{#cc071e}{\overrightarrow{AD}}\) sollten aus Teilaufgabe a bekannt sein:
\(\textcolor{#cc071e}{\overrightarrow{AB}} = \textcolor{#cc071e}{\begin{pmatrix} 0\\18\\12 \end{pmatrix}}\), \(\textcolor{#cc071e}{\overrightarrow{AD}} = \textcolor{#cc071e}{\begin{pmatrix} -60\\0\\0 \end{pmatrix}}\)
Normalenvektor \(\textcolor{#0087c1}{\overrightarrow{n}}\) der Ebene \(E\) ermitteln:
Vektorprodukt (Kreuzprodukt)
Das Vektorprodukt \(\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b}\) zweier Vektoren \(\overrightarrow{a}\) und \(\overrightarrow{b}\) erzeugt einen neuen Vektor \(\overrightarrow{c} = \overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b}\) mit den Eigenschaften:
\(\overrightarrow{c}\) ist sowohl zu \(\overrightarrow{a}\) als auch zu \(\overrightarrow{b}\) senkrecht.
\[\overrightarrow{c} = \overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b} \quad \Longrightarrow \quad \overrightarrow{c} \perp \overrightarrow{a}, \enspace \overrightarrow{c} \perp \overrightarrow{b}\]
Der Betrag des Vektorprodukts zweier Vektoren \(\overrightarrow{a}\) und \(\overrightarrow{b}\) ist gleich dem Produkt aus den Beträgen der Vektoren \(\overrightarrow{a}\) und \(\overrightarrow{b}\) und dem Sinus des von ihnen eingeschlossenen Winkels \(\varphi\).
\[\vert \overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b} \vert = \vert \overrightarrow{a} \vert \cdot \vert \overrightarrow{b} \vert \cdot \sin{\varphi} \quad (0^{\circ} \leq \varphi \leq 180^{\circ})\]
Die Vektoren \(\overrightarrow{a}\), \(\overrightarrow{b}\) und \(\overrightarrow{c}\) bilden in dieser Reihenfolge ein Rechtssystem. Rechtehandregel: Weist \(\overrightarrow{a}\) in Richtung des Daumens und \(\overrightarrow{b}\) in Richtung des Zeigefingers, dann weist \(\overrightarrow{c} = \overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b}\) in Richtung des Mittelfingers.
Berechnung eines Vektorprodukts im \(\boldsymbol{\mathbb R^{3}}\) (vgl. Merkhilfe)
\[\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b} = \begin {pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end {pmatrix} \times \begin {pmatrix} b_1 \\ b_2 \\ b_3 \end {pmatrix} = \begin {pmatrix} a_2 \cdot b_3 - a_3 \cdot b_2 \\ a_3 \cdot b_1 - a_1 \cdot b_3 \\ a_1 \cdot b_2 - a_2 \cdot b_1 \end {pmatrix}\]
\[\begin{align*} \textcolor{#cc071e}{\overrightarrow{AB}} \times \textcolor{#cc071e}{\overrightarrow{AD}} &= \textcolor{#cc071e}{\begin{pmatrix} 0 \\ 18 \\ 12 \end{pmatrix}} \times \textcolor{#cc071e}{\begin{pmatrix} -60 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}} \\[0.8em] &= \begin{pmatrix} 18 & \cdot & 0 & - & 12 & \cdot & 0 \\ 12 & \cdot & (-60) & - & 0 & \cdot & 0 \\ 0 & \cdot & 0 & - & 18 & \cdot & (-60) \end{pmatrix} \\[0.8em] &= \begin{pmatrix} 0 \\ -720 \\ 1080 \end{pmatrix} = -360 \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ -3 \end{pmatrix} \end{align*}\]
Somit ist der Vektor \(\textcolor{#0087c1}{\overrightarrow{n} = \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ -3 \end{pmatrix}}\) ein Normalenvektor der Ebene \(E\).
Gleichung der Ebene \(E\) in Koordinatenform bestimmen:
Der Punkt \(\textcolor{#e9b509}{B(30|13|0)}\) dient beispielsweise als Aufpunkt.
1. Möglichkeit: Ansatz mit Normalenform in Vektordarstellung
Ebenengleichung in Normalenform (vgl. Merkhilfe)
Jede Ebene lässt sich durch eine Gleichung in Normalenform beschreiben. Ist \(A\) ein beliebiger Aufpunkt der Ebene \(E\) und \(\overrightarrow{n}_{E}\) ein Normalenvektor von \(E\), so erfüllt jeder Punkt \(X\) der Ebene \(E\) folgende Gleichungen:
Normalenform in Vektordarstellung
\[E \colon \overrightarrow{n}_{E} \circ (\overrightarrow{X} - \overrightarrow{A}) = 0\]
Normalenform in Koordinatendarstellung
\[E \colon n_{1}x_{1} + n_{2}x_{2} + n_{3}x_{3} + n_{0} = 0\]
mit \(n_{0} = -(\overrightarrow{n}_{E} \circ \overrightarrow{A}) = - \: n_{1}a_{1} - n_{2}a_{2} - n_{3}a_{3}\)
\(n_{1}\), \(n_{2}\) und \(n_{3}\): Koordinaten eines Normalenvektors \(\overrightarrow{n}_{E}\)
\[\begin{align*}E \colon &\,\textcolor{#0087c1}{\overrightarrow{n}} \circ (\overrightarrow{X} - \textcolor{#e9b509}{\overrightarrow{B})} = 0 \\[0.8em] E \colon &\textcolor{#0087c1}{\begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ -3 \end{pmatrix}} \circ \left[ \overrightarrow{X} - \textcolor{#e9b509}{\begin{pmatrix} 30 \\ 13 \\ 0 \end{pmatrix}} \right] = 0 \\[0.8em] &\,\textcolor{#0087c1}{0} \cdot (x_{1} - \textcolor{#e9b509}{30}) + \textcolor{#0087c1}{2} \cdot (x_{2} - \textcolor{#e9b509}{13}) + (\textcolor{#0087c1}{-3}) \cdot (x_{3} - \textcolor{#e9b509}{0}) = 0 \\[0.8em] E \colon \,&2x_2 - 3x_3 - 26 = 0\end{align*}\]
2. Möglichkeit: Ansatz mit Normalenform in Koordinatendarstellung
\(\textcolor{#0087c1}{\overrightarrow{n} = \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ -3 \end{pmatrix}}\); \(\textcolor{#e9b509}{B(30|13|0)}\)
Ebenengleichung in Normalenform (vgl. Merkhilfe)
Jede Ebene lässt sich durch eine Gleichung in Normalenform beschreiben. Ist \(A\) ein beliebiger Aufpunkt der Ebene \(E\) und \(\overrightarrow{n}_{E}\) ein Normalenvektor von \(E\), so erfüllt jeder Punkt \(X\) der Ebene \(E\) folgende Gleichungen:
Normalenform in Vektordarstellung
\[E \colon \overrightarrow{n}_{E} \circ (\overrightarrow{X} - \overrightarrow{A}) = 0\]
Normalenform in Koordinatendarstellung
\[E \colon n_{1}x_{1} + n_{2}x_{2} + n_{3}x_{3} + n_{0} = 0\]
mit \(n_{0} = -(\overrightarrow{n}_{E} \circ \overrightarrow{A}) = - \: n_{1}a_{1} - n_{2}a_{2} - n_{3}a_{3}\)
\(n_{1}\), \(n_{2}\) und \(n_{3}\): Koordinaten eines Normalenvektors \(\overrightarrow{n}_{E}\)
\[\begin{align*} &E \colon n_{1}x_{1} + n_{2}x_{2} + n_{3}x_{3} + n_{0} = 0 \\[0.8em] &E \colon \textcolor{#0087c1}{0} \cdot x_{1} + \textcolor{#0087c1}{2} \cdot x_{2} + (\textcolor{#0087c1}{-3}) \cdot x_{3} + n_{0} = 0\\[0.8em] &E\colon 2x_{2} - 3x_{3} + n_{0} = 0 \end{align*}\]
\[\begin{align*} \textcolor{#e9b509}{B(30|13|0)} \in E \colon 2 \cdot \textcolor{#e9b509}{13} - 3 \cdot \textcolor{#e9b509}{0} + n_{0} &= 0 \\[0.8em] 26 + n_{0} &= 0 &&| - 26 \\[0.8em] n_{0} &= -26 \end{align*}\]
\[\Rightarrow E \colon 2x_{2} - 3x_{3} - 26 = 0\]
Besondere Lage der Ebene \(E\) im Koordinatensystem
Die Ebene \(E\) verläuft parallel zur \(x_1\)-Achse.
Ergänzende Erklärung (nicht verlangt)
Ebene \(E \colon 2x_{2} - 3x_{3} - 26 = 0\) mit Normalenvektor \(\overrightarrow{n} = \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ -3 \end{pmatrix}\)
Betrachtet wird eine Ebenen \(\textcolor{#0087c1}{E \colon n_1x_1 + n_2x_2 + n_3x_3 + n_0}\) in Normalenform in Koordinatendarstellung (Koordinatenform). Die Ebenen \(E\) hat eine besondere Lage im Koordinatensystem, wenn mindestens einer der Werte von \(n_1\), \(n_2\), \(n_3\) oder \(n_0\) gleich null ist. Die \(x_1x_2\)-Ebene (grau) ist als optisches Bezugsobjekt mit dargestellt.
\(\boldsymbol{n_0 \neq 0}\) und ein Wert von \(\boldsymbol{n_1}\), \(\boldsymbol{n_2}\) oder \(\boldsymbol{n_3}\) ist \(\boldsymbol{0}\)
Ist \(n_i = 0\), so ist die Ebene \(\textcolor{#0087c1}{E}\) echt parallel zur \(x_i\)-Achse.
Beispiel: \(\textcolor{#0087c1}{E \colon 2x_2 + 2x_3 = 3}\) ist echt parallel zur \(\textcolor{#cc071e}{x_1}\)-Achse.
\(\boldsymbol{n_0 = 0}\) und ein Wert von \(\boldsymbol{n_1}\), \(\boldsymbol{n_2}\) oder \(\boldsymbol{n_3}\) ist \(\boldsymbol{0}\)
Ist \(n_i = 0\), so liegt die \(x_i\)-Achse in der Ebene \(\textcolor{#0087c1}{E}\).
Beispiel: \(\textcolor{#0087c1}{E \colon 2x_2 + 2x_3 = 0}\) enthält die \(\textcolor{#cc071e}{x_1}\)-Achse.
\(\boldsymbol{n_0 \neq 0}\) und zwei Werte von \(\boldsymbol{n_1}\), \(\boldsymbol{n_2}\) oder \(\boldsymbol{n_3}\) sind \(\boldsymbol{0}\)
Ist \(n_i = 0\) und \(n_j = 0\), so ist die Ebene \(\textcolor{#0087c1}{E}\) echt parallel zur \(x_ix_j\)-Ebene.
Beispiel: \(\textcolor{#0087c1}{E \colon x_2 = 2}\) ist echt parallel zur \(\textcolor{#cc071e}{x_1x_3}\)-Ebene.
\(\boldsymbol{n_0 = 0}\) und zwei Werte von \(\boldsymbol{n_1}\), \(\boldsymbol{n_2}\) oder \(\boldsymbol{n_3}\) sind \(\boldsymbol{0}\)
Ist \(n_i = 0\) und \(n_j = 0\), so ist die Ebene \(\textcolor{#0087c1}{E}\) identisch mit der \(x_ix_j\)-Ebene.
Beispiel: \(\textcolor{#0087c1}{E \colon 3x_2 = 0}\) ist identisch mit der \(\textcolor{#cc071e}{x_1x_3}\)-Ebene.
Da die \(x_1\)-Koordinate des Normalenvektors null ist und die Ebene \(E\) nicht den Koordinatenursprung enthält, verläuft \(E\) parallel zur \(x_1\)-Achse.
