Ermitteln Sie diejenigen Werte von \(k\), für die die jeweils zugehörige Funktion \(p_{k}\) keine Nullstelle besitzt.
(3 BE)
Lösung zu Teilaufgabe 3b
\[p_{k}(x) = kx^{2} -4x - 3; \; k \in \mathbb R \backslash \{0\}\]
Der Ansatz \(p_{k}(x) = 0 \) für die Bestimmung der Nullstellen von \(p_{k}\) in Abhängigkeit von \(k\) führt auf eine quadratische Gleichung.
Die quadratische Gleichung hat keine Lösung (keine Nullstelle), wenn der Wert der sogenannten Diskriminante \(\textcolor{#0087c1}{D}\) der Lösungsformel für quadratische Gleichungen (Mitternachtsformel) negativ ist.
\[\begin{align*}p_{k}(x) &= 0 \\[0.8em] \underbrace{kx^{2} - 4x - 3}_{\large{ax^{2}\, + \, bx \, + c}} &= 0 \end{align*}\]
Lösungsformel für quadratische Gleichungen (vgl. Merkhilfe)
\[ax^2 + bx + c = 0 \,, \qquad a, b, c \in \mathbb R \,, \quad a \neq 0\]
\[\begin{align*} x_{1,2} &= \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}, \quad b^2 \geq 4ac \\[0.8em] x_{1,2} &= \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}, \quad D \geq 0 \end{align*}\]
Diskriminante \(D = b^2 -4ac \;\):
\(D < 0\,\): keine Lösung
\(D = 0\,\): genau eine Lösung
\(D > 0\,\): zwei verschiedene Lösungen
\[\begin{align*}x_{1,2} &= \frac{-b \pm \sqrt{\textcolor{#0087c1}{D}}}{2a} \\[0.8em] &= \frac{-b \pm \sqrt{\textcolor{#0087c1}{b^{2} - 4ac}}}{2a} \end{align*}\]
Bedingung: Diskriminante \(\textcolor{#0087c1}{D = b^{2} - 4ac} \textcolor{#cc071e}{< 0}\)
\[\begin{align*} b^{2} - 4ac &< 0 \\[0.8em] (-4)^{2} - 4 \cdot k \cdot (-3) &< 0 \\[0.8em] 16 + 12k &< 0 &&| - 16 \\[0.8em] 12k &< -16 &&| : 12 \\[0.8em] k &< -\frac{4}{3} \end{align*}\]
Für \(k < -\frac{4}{3}\) besitzt die jeweils zugehörige Funktion \(p_{k}\) keine Nullstelle.
