Eine Skifahrerin fährt einen Hang hinab. Dieser wird modellhaft durch ein Flächenstück beschrieben, das in der Ebene \(E\) liegt. Die Startposition der Abfahrt entspricht dem Punkt \(S\). Auf dem Hang befindet sich ein Tor, dessen Begrenzungsstangen im Modell an den Punkten \(A\) und \(B\) stehen. Von ihrer Startposition fährt die Skifahrerin zunächst entlang einer geraden Fahrlinie bis zu einer Stelle unterhalb des Tors, die dem Punkt \(C\) entspricht (vgl. Abbildung).

Die gerade Fahrlinie liegt dabei im Modell auf der Gerade \(g_{0{,}8} \colon \overrightarrow{X} = \begin{pmatrix} 0\\0\\10 \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} 1{,}8\\0{,}2\\-1 \end{pmatrix}\). Die \(x_1x_2\)-Ebene beschreibt die Horizontale; eine Längeneinheit im Koordinatensystem entspricht 5 Metern in der Realität.

Geben Sie mithilfe des Ergebnisses aus Aufgabe a die Breite des Tors auf Meter genau an. Begründen Sie mithilfe der Aussage aus Aufgabe d, dass die gerade Fahrlinie der Skifahrerin um weniger als 30° gegenüber der Horizontalen geneigt ist.

(3 BE)

Lösung zu Teilaufgabe e

Breite des Tors auf Meter genau

\(\overline{AB} = \sqrt{2}\) (vgl. Teilaufgabe a)

Eine Längeneinheit entspricht 5 Metern (vgl. Angabe).

\[\sqrt{2} \cdot 5\,\textsf{m} \approx 7\,\textsf{m}\]

Das Tor ist etwa 7 m breit.

Begründung, dass die Fahrlinie um weniger als 30° gegenüber der Horizontalen geneigt ist

\[g_{0{,}8} \colon \overrightarrow{X} = \begin{pmatrix} 0\\0\\10 \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} 1{,}8\\0{,}2\\-1 \end{pmatrix}\]

Die Größe des Schnittwinkels von \(g_k\) mit der \(x_1x_2\)-Ebene beträgt weniger als 30°, wenn \(2k^2 > 1\) gilt (vgl. Teilaufgabe d).

Die Gerade \(g_{0{,}8}\) (Fahrlinie der Skifahrerin) ist für \(k = 0{,}8\) eine Gerade der Geradenschar \(g_k\).

Mit \(2k^2 = 2 \cdot 0{,}8^2 = 1{,}28 > 1\) ist die gerade Fahrlinie der Skifahrerin um weniger als 30° gegenüber der Horizontalen geneigt.