Berechnen Sie unter Berücksichtigung des asymptotischen Verhaltens von \(G_{h}\) einen Näherungswert für \(\displaystyle \int_{10}^{20} h(x)dx\).
(2 BE)
Lösung zu Teilaufgabe 2b
Berechnung bestimmter Integrale
\[\int_{a}^{b} f(x)\,dx = [F(x)]_{a}^{b} = F(b) - F(a)\]
Dabei ist \(F\) eine beliebige Stammfunktion zu \(f\).
(vgl. Merkhilfe)
Eigenschaften des bestimmten Integrals - Integrationsregeln
Identische Integrationsgrenzen:
\[\int_{a}^{a} f(x)\,dx = 0\]
Faktorregel:
\(\displaystyle \int_{a}^{b} c \cdot f(x)\,dx = c \cdot \int_{a}^{b} f(x)\,dx\) mit \(c \in \mathbb R\)
Summenregel:
\[\int_{a}^{b} \left[f(x) \pm g(x) \right] dx = \int_{a}^{b}f(x)\,dx \pm \int_{a}^{b}g(x)\,dx\]
Vertauschungsregel:
\[\int_{a}^{b}f(x)\,dx = -\int_{b}^{a}f(x)\,dx\]
Zerlegung in Teilintervalle:
\(\displaystyle \int_{a}^{b}f(x)\,dx = \int_{a}^{c}f(x)\,dx + \int_{c}^{b}f(x)\,dx\) mit \(a \leq c \leq b\)
\[\begin{align*} \int_{10}^{20}h(x)dx &\approx \int_{10}^{20}(x - 7)dx \\[0.8em] &= \bigg[ \underbrace{\frac{1}{2}x^{2} - 7x}_{\text{Stammfunktion}} \bigg]_{\textcolor{#89ba17}{10}}^{\textcolor{#e9b509}{20}} \\[0.8em] &= \frac{1}{2} \cdot \textcolor{#e9b509}{20}^{2} - 7 \cdot \textcolor{#e9b509}{20} - \left( \frac{1}{2} \cdot \textcolor{#89ba17}{10}^{2} - 7 \cdot \textcolor{#89ba17}{10} \right) \\[0.8em] &= \frac{1}{2} \cdot 400 - 140 - \left( \frac{1}{2} \cdot 100 - 70 \right) \\[0.8em] &= 200 - 140 - (50 - 70) \\[0.8em] &= 60 - (-20) \\[0.8em] &= 80 \end{align*}\]
Ausführliche Erklärung (nicht verlangt)
Da sich \(G_{h}\) für \(x \to + \infty\) der schrägen Asymptote mit der Gleichung \(y = x - 7\) annähert (vgl. Teilaufgabe 2a), gilt näherungsweise:
\[\int_{10}^{20}h(x)dx \approx \int_{10}^{20} (x - 7)dx\]
Berechnung bestimmter Integrale
\[\int_{a}^{b} f(x)\,dx = [F(x)]_{a}^{b} = F(b) - F(a)\]
Dabei ist \(F\) eine beliebige Stammfunktion zu \(f\).
(vgl. Merkhilfe)
Eigenschaften des bestimmten Integrals - Integrationsregeln
Identische Integrationsgrenzen:
\[\int_{a}^{a} f(x)\,dx = 0\]
Faktorregel:
\(\displaystyle \int_{a}^{b} c \cdot f(x)\,dx = c \cdot \int_{a}^{b} f(x)\,dx\) mit \(c \in \mathbb R\)
Summenregel:
\[\int_{a}^{b} \left[f(x) \pm g(x) \right] dx = \int_{a}^{b}f(x)\,dx \pm \int_{a}^{b}g(x)\,dx\]
Vertauschungsregel:
\[\int_{a}^{b}f(x)\,dx = -\int_{b}^{a}f(x)\,dx\]
Zerlegung in Teilintervalle:
\(\displaystyle \int_{a}^{b}f(x)\,dx = \int_{a}^{c}f(x)\,dx + \int_{c}^{b}f(x)\,dx\) mit \(a \leq c \leq b\)
Für die Berechnung des bestimmten Integrals \(\displaystyle \int_{10}^{20}(x - 7)dx\) wird eine Stammfunktion der Integrandenfunktion \(x \mapsto x - 7\) benötigt.
Die Menge aller Stammfunktionen der Integrandenfunktion \(x \mapsto x - 7\) ist gegeben durch das unbestimmte Integral \(\displaystyle \int (x - 7)dx\).
Mithilfe der unbestimmten Integrale
\(\displaystyle \textcolor{#cc071e}{\int x^{r} dx = \dfrac{x^{r + 1}}{r + 1} + C \quad (r \neq - 1)}\) und
\(\displaystyle \textcolor{#0087c1}{\int c\,dx = cx + C}\)
ergibt sich:
Wichtige unbestimmte Integrale (\(C \in \mathbb R\), vgl. Merkhilfe)
\[\int x^{r} dx = \frac{x^{r + 1}}{r + 1} + C \quad (r \neq - 1)\]
\[\int \frac{1}{x}\,dx = \ln{\vert x \vert} + C\]
\[\int \sin{x} \, dx = -\cos{x} + C\]
\[\int \cos{x} \, dx = \sin{x} + C\]
\[\int e^{x} dx = e^{x} + C\]
\[\int \ln{x}\, dx = -x + x \cdot \ln{x} + C\]
\[\int \frac{f'(x)}{f(x)} dx = \ln{\vert f(x) \vert} + C\]
\[\int f'(x) \cdot e^{f(x)} dx = e^{f(x)} + C\]
\(\displaystyle \int f(ax + b) \, dx = \frac{1}{a} \cdot F(ax + b) + C\), wobei \(F\) eine Stammfunktion von \(f\) ist.
Es gilt die Faktorregel und die Summenregel:
\(\displaystyle \int c \cdot f(x)\,dx = c \cdot \int f(x)\,dx\) mit \(c \in \mathbb R\)
\( \displaystyle \int \left[f(x) \pm g(x) \right] dx = \int f(x)\,dx \pm \int g(x)\,dx\)
\[\begin{align*}\int (\textcolor{#cc071e}{x} - \textcolor{#0087c1}{7})dx &= \textcolor{#cc071e}{\frac{x^{1 + 1}}{1 + 1}} - \textcolor{#0087c1}{7x} + C \\[0.8em] &= \frac{1}{2}x^{2} + 7x + C\end{align*}\]
Somit ist die Funktion \(x \mapsto \dfrac{1}{2}x^{2} + 7x\) eine Stammfunktion der Integrandenfunktion \(x \mapsto x - 7\) (für \(C = 0\)) und es folgt:
Berechnung bestimmter Integrale
\[\int_{a}^{b} f(x)\,dx = [F(x)]_{a}^{b} = F(b) - F(a)\]
Dabei ist \(F\) eine beliebige Stammfunktion zu \(f\).
(vgl. Merkhilfe)
Eigenschaften des bestimmten Integrals - Integrationsregeln
Identische Integrationsgrenzen:
\[\int_{a}^{a} f(x)\,dx = 0\]
Faktorregel:
\(\displaystyle \int_{a}^{b} c \cdot f(x)\,dx = c \cdot \int_{a}^{b} f(x)\,dx\) mit \(c \in \mathbb R\)
Summenregel:
\[\int_{a}^{b} \left[f(x) \pm g(x) \right] dx = \int_{a}^{b}f(x)\,dx \pm \int_{a}^{b}g(x)\,dx\]
Vertauschungsregel:
\[\int_{a}^{b}f(x)\,dx = -\int_{b}^{a}f(x)\,dx\]
Zerlegung in Teilintervalle:
\(\displaystyle \int_{a}^{b}f(x)\,dx = \int_{a}^{c}f(x)\,dx + \int_{c}^{b}f(x)\,dx\) mit \(a \leq c \leq b\)
\[\begin{align*} \int_{10}^{20}h(x)dx &\approx \int_{10}^{20}(x - 7)dx \\[0.8em] &= \bigg[ \underbrace{\frac{1}{2}x^{2} - 7x}_{\text{Stammfunktion}} \bigg]_{\textcolor{#89ba17}{10}}^{\textcolor{#e9b509}{20}} \\[0.8em] &= \frac{1}{2} \cdot \textcolor{#e9b509}{20}^{2} - 7 \cdot \textcolor{#e9b509}{20} - \left( \frac{1}{2} \cdot \textcolor{#89ba17}{10}^{2} - 7 \cdot \textcolor{#89ba17}{10} \right) \\[0.8em] &= \frac{1}{2} \cdot 400 - 140 - \left( \frac{1}{2} \cdot 100 - 70 \right) \\[0.8em] &= 200 - 140 - (50 - 70) \\[0.8em] &= 60 - (-20) \\[0.8em] &= 80 \end{align*}\]