Gegeben ist die in \(\mathbb R\) definierte Funktionenschar \(f_{a}(x) = x^{3} - ax + 3\) mit \(a \in \mathbb R\). Die Kurvenschar der Funktionenschar \(f_{a}\) wird mit \(G_{f_{a}}\) bezeichnet.
Bestimmen Sie den Wert des Parameters \(a\) so, dass der zugehörige Graph der Kurvenschar \(G_{f_{a}}\)
a) zwei Extrempunkte
b) einen Terrassenpunkt
besitzt.
\[f_{a}(x) = x^{3} - ax + 3; \; D_{f_{a}} = \mathbb R\]
In den Extrem- oder Terrassenpunkten besitzt ein Graph der Kurvenschar \(G_{f_{a}}\) eine waagrechte Tangente, das heißt, die Steigung der Tangente ist gleich Null. Die erste Ableitung \(f'_{a}\) der Funktionenschar \(f_{a}\) beschreibt die Steigung einer Tangente an einen Graphen der Kurvenschar \(G_{f_{a}}\).
Folglich lautet die notwendige Bedingung für einen Extrem- oder Terrassenpunkt eines Graphen der Kurvenschar \(G_{f_{a}}\):
\[f'_{a}(x) = 0\]
Erste Ableitung \(f'_{a}\) bilden:
Die Erste Ableitung \(f'_{a}\) der Funktionenschar \(f_{a}\) wird mithilfe der Ableitung einer Potenzfunktion sowie der Summen- und der Faktorregel gebildet. Der Parameter \(a\) wird wie eine Konstante behandelt.
\[f_{a}(x) = x^{3} - ax + 3; \; D_{f_{a}} = \mathbb R\]
Ableitung einer Potenzfunktion
\[f(x) = x^r \quad \Longrightarrow \quad f'(x) = rx^{r - 1} \quad (r \in \mathbb R)\]
Faktorregel
\(f(x) = a \cdot u(x) \quad \Longrightarrow \quad f'(x) = a \cdot u'(x)\)
Summenregel
\(f(x) = u(x) + v(x) \quad \Longrightarrow \quad f'(x) = u'(x) + v'(x)\)
(vgl. Merkhilfe)
\[f'_{a}(x) = 3 \cdot x^{2} - a + 0 = 3x^{2} - a\]
Nullstellen von \(f'_{a}\) bestimmen:
Die Anzahl der Nullstellen von \(f'_{a}\) hängt vom Wert des Parameters \(a\) ab.
\[\begin{align*}f'_{a}(x) &= 0 \\[0.8em] 3x^{2} - a &= 0 & &| + a \\[0.8em] 3x^{2} &= a & &| : 3 \\[0.8em] x^{2} &= \frac{a}{3} & &| \; \sqrt{\quad} \enspace a > 0 \\[0.8em] x_{1,2} &= \pm \sqrt{\frac{a}{3}} \\[0.8em]\end{align*}\]
Fallunterscheidung:
\[a > 0 \quad \Longrightarrow \quad x_{1,2} = \pm\sqrt{\frac{a}{3}}\]
\[a = 0 \quad \Longrightarrow \quad x = 0\]
a) Wert des Parameters \(a\), sodass ein Graph der Kurvenschar \(G_{f_{a}}\) zwei Extrempunkte besitzt
Nur für \(a > 0\) hat \(f'_{a}(x)\) die beiden Nullstellen \(x_{1} = -\sqrt{\frac{a}{3}}\) und \(x_{2} = \sqrt{\frac{a}{3}}\).
Das bedeutet, nur für \(a > 0\) besitzt ein Graph der Kurvenschar \(G_{f_{a}}\) an den Stellen \(x_{1} = -\sqrt{\frac{a}{3}}\) und \(x_{2} = \sqrt{\frac{a}{3}}\) jeweils eine waagrechte Tangente.
Schlussfolgerung:
Für \(a > 0\) besitzt ein Graph der Kurvenschar \(G_{f_{a}}\) zwei Extrempunkte.
Anmerkung:
Der folgende ausführliche Nachweis der Extrempunkte ist laut Aufgabenstellung nicht erforderlich. Er dient vielmehr dem besseren Verständnis.
Nachweis der Extrempunkte und deren Art:
Anwendung der Differentialrechnung:
Extrempunkte
Ist \(f'(x_{0}) = 0\) und wechselt \(f'\) an der Stelle \(x_{0}\) das Vorzeichen, so hat \(G_{f}\) an der Stelle \(x_{0}\) einen Extrempunkt.
(vgl. Merkhilfe)
Ein Extrempunkt liegt an den Stellen \(x_{1} = -\sqrt{\frac{a}{3}}\) und \(x_{2} = \sqrt{\frac{a}{3}}\) vor, wenn \(f'_{a}(x)\) dort das Vorzeichen wechselt, das heißt, wenn ein Graph der Kurvenschar \(G_{f_{a}}\) gemäß dem Monotoniekriterium das Monotonieverhalten ändert.
Anwendung der Differetialrechnung:
Monotoniekriterium
\(\textcolor{#cc071e}{f'(x) < 0}\) im Intervall \( I \; \Rightarrow \; G_{f}\) fällt streng monoton in \(I\)
\(\textcolor{#0087c1}{f'(x) > 0}\) im Intervall \( I \; \Rightarrow \; G_{f}\) steigt streng monoton in \(I\)
(vgl. Merkhilfe)
Formuliert man den Funktionsterm \(f'_{a}(x)\) anhand der Nullstellen \(x_{1,2} = \pm\sqrt{\frac{a}{3}}\) oder mithilfe der 3. Binomischen Formel als Produkt seiner Linearfaktoren, wird der Vorzeichenwechsel von \(f'_{a}(x)\) in der Umgebung von \(x_{1} = -\sqrt{\frac{a}{3}}\) und \(x_{2} = \sqrt{\frac{a}{3}}\) nachvollziehbar.
\[\begin{align*} f'_{a}(x) &= 3x^{2} - a & &| \; (a > 0) \\[0.8em] &= 3\Big( \underbrace{x^{2} - \frac{a}{3}}_{\large{a^{2}\,-\,b^{2}}} \Big) & &| \; \text{3. Binom. Formel anwenden} \\[0.8em] &= 3 \underbrace{\left( x - \sqrt{\frac{a}{3}} \right) \left( x + \sqrt{\frac{a}{3}} \right)}_{\large{(a\,-\,b)(a\,+\,b)}} \end{align*}\]
\[\left. \begin{align*} &f'_{a}(x) > 0 \; \text{für} \; x < \textstyle -\sqrt{\frac{a}{3}} \\[0.8em] &f'_{a}\Big( \textstyle -\sqrt{\frac{a}{3}} \Big) = 0 \\[0.8em] &f'_{a}(x) < 0 \; \text{für} \; \textstyle x > -\sqrt{\frac{a}{3}} \end{align*} \right\} \enspace \Rightarrow \enspace\text{Hochpunkt}\;HoP\Big( \textstyle -\sqrt{\frac{a}{3}} \Big| f_{a}\Big( -\sqrt{\frac{a}{3}} \Big) \Big)\]
\[\left. \begin{align*} &f'_{a}(x) < 0 \; \text{für} \; x < \textstyle \sqrt{\frac{a}{3}} \\[0.8em] &f'_{a}\Big( \textstyle \sqrt{\frac{a}{3}} \Big) = 0 \\[0.8em] &f'_{a}(x) > 0 \; \text{für} \; \textstyle x > \sqrt{\frac{a}{3}} \end{align*} \right\} \enspace \Rightarrow \enspace\text{Tiefpunkt}\;TiP\Big( \textstyle \sqrt{\frac{a}{3}} \Big| f_{a}\Big( \sqrt{\frac{a}{3}} \Big) \Big)\]
Veranschaulichung mit einer Monotonietabelle:
\[ f'_{a}(x) = 3\left( x - \sqrt{\frac{a}{3}} \right) \left( x + \sqrt{\frac{a}{3}} \right); \; a > 0\]
| \(x\) | \(x < -\sqrt{\frac{a}{3}}\) | \(x = -\sqrt{\frac{a}{3}}\) | \(x > -\sqrt{\frac{a}{3}}\) |
| \(\left( x - \sqrt{\frac{a}{3}} \right)\) | \(-\) | \(-\) | \(-\) |
| \(\left( x + \sqrt{\frac{a}{3}} \right)\) | \(-\) | \(0\) | \(+\) |
| \(f'(x)\) | \(+\) | \(0\) | \(-\) |
| \(G_{f}\) | \(\nearrow\) | \(HoP\Big(-\sqrt{\frac{a}{3}} \Big|f\Big( -\sqrt{\frac{a}{3}} \Big) \Big)\) | \(\searrow\) |
| \(x\) | \(x < \sqrt{\frac{a}{3}}\) | \(x = \sqrt{\frac{a}{3}}\) | \(x > \sqrt{\frac{a}{3}}\) |
| \(\left( x - \sqrt{\frac{a}{3}} \right)\) | \(-\) | \(0\) | \(+\) |
| \(\left( x + \sqrt{\frac{a}{3}} \right)\) | \(+\) | \(+\) | \(+\) |
| \(f'(x)\) | \(-\) | \(0\) | \(+\) |
| \(G_{f}\) | \(\searrow\) | \(TiP\Big(\sqrt{\frac{a}{3}} \Big|f\Big( \sqrt{\frac{a}{3}} \Big) \Big)\) | \(\nearrow\) |
b) Wert des Parameters \(a\), sodass ein Graph der Kurvenschar \(G_{f_{a}}\) einen Terrassenpunkt besitzt
Für \(a = 0\) hat \(f'_{a}(x) = 3x^{2}\) die doppelte Nullstelle (ohne Vorzeichenwechsel) \(x = 0\).
Anwendung der Differetialrechnung:
Monotoniekriterium
\(\textcolor{#cc071e}{f'(x) < 0}\) im Intervall \( I \; \Rightarrow \; G_{f}\) fällt streng monoton in \(I\)
\(\textcolor{#0087c1}{f'(x) > 0}\) im Intervall \( I \; \Rightarrow \; G_{f}\) steigt streng monoton in \(I\)
(vgl. Merkhilfe)
Das bedeutet, für \(a = 0\) besitzt der zugehörige Graph \(G_{f_{0}}\) an der Stelle \(x = 0\) eine waagrechte Tangente, ohne das Monotonieverhalten zu ändern.
Schlussfolgerung:
Für \(a = 0\) besitzt der zugehörige Graph \(G_{f_{0}}\) der Kurvenschar \(G_{f_{a}}\) einen Terrassenpunkt.
